Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y= x+ ．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)M（m，0）是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？
（3）在（2）問(wèn)條件下，當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′，將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間）；
i：探究：線段OB上是否存在定點(diǎn)P（P不與O、B重合），無(wú)論ON如何旋轉(zhuǎn)， 始終保持不變，若存在，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
ii：試求出此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（NA+ NB）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y= x+ 中，令x=0，則y= ，令y=0，則x=﹣6，

∴B（0， ），A（﹣6，0），

把B（0， ），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得 ，

∴ ，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣ x2﹣ x+ ，

令y=0，則=﹣ x2﹣ x+ =0，

∴x1=﹣6，x2=1，

∴C（1，0）

（2）

解：∵點(diǎn)M（m，0），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，

∴D（m， m+ ），當(dāng)DE為底時(shí)，

作BG⊥DE于G，則EG=GD= ED，GM=OB= ，

∴ m+ （﹣ m2﹣ m+ + m+ ）= ，

解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，舍去），

∴當(dāng)m=﹣4時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形

（3）

解：i：存在，

∵ON=OM′=4，OB= ，

∵∠NOP=∠BON，

∴當(dāng)△NOP∽△BON時(shí)， = ，

∴ 不變，

即OP= =3，

∴P（0，3）

ii：∵N在以O(shè)為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， = ，

∴NP= NB，

∴（NA+ NB）的最小值=NA+NP，

∴此時(shí)N，A，P三點(diǎn)共線，

∴（NA+ NB）的最小值= =3 ．

【解析】（1）根據(jù)已知條件得到B（0， ），A（﹣6，0），解方程組得到拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣ x2﹣ x+ ，于是得到C（1，0）；（2）由點(diǎn)M（m，0），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，得到D（m， m+ ），當(dāng)DE為底時(shí)，作BG⊥DE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=GD= ED，GM=OB= ，列方程即可得到結(jié)論；（3）i：根據(jù)已知條件得到ON=OM′=4，OB= ，由∠NOP=∠BON，特殊的當(dāng)△NOP∽△BON時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 = ，于是得到結(jié)論；
ii：根據(jù)題意得到N在以O(shè)為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， = ，得到NP= NB，于是得到（NA+ NB）的最小值=NA+NP，此時(shí)N，A，P三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．