Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動，連接DP交AC于點(diǎn)Q．

（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

（1）證明見解析;(2)當(dāng)AP=2時(shí), △ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的;(3)當(dāng)CP=4-4時(shí)，△ADQ是等腰三角形.

解析試題分析：（1）正方形的對角線與邊的夾角是45°,在正方形ABCD中，無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時(shí)，都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,∴△ADQ≌△ABQ.(2)△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，則QE =QF，AD×QE=S_{正方形ABCD}=,∴QE=,由△DEQ∽△DAP得,
解得AP=2,∴AP=2時(shí)，△ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的.（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA,此時(shí)△ADQ是等腰三角形,②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動到CP=x時(shí)，有AD=AQ,∵AD∥BC,∴∠ADQ=∠CPQ,又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,∴∠CQP=∠CPQ,∴CQ=CP=x,∵AC=,AQ=AD=4,∴z=CQ=AC-AQ=4-4,即當(dāng)CP=4-4時(shí)，△ADQ是等腰三角形.

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中，無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時(shí)，都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,
∴△ADQ≌△ABQ.
(2)解：△ADQ的面積恰好是正方形ABCD面積的時(shí)，
過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，
則QE=QF，
AD×QE=S_{正方形ABCD}=,
∴QE=,
由△DEQ∽△DAP得,
解得AP=2,
∴AP=2時(shí)，△ADQ的面積的面積是正方形ABCD面積的.
（3）若△ADQ是等腰三角形，則有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA,
此時(shí)△ADQ是等腰三角形,
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，
此時(shí)DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.
③解：如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動到CP=x時(shí)，有AD=AQ,

∵AD∥BC,
∴∠ADQ=∠CPQ,
又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,
∴∠CQP=∠CPQ,
∴CQ=CP=x,
∵AC=,AQ=AD=4,
∴z=CQ=AC-AQ=4-4,
即當(dāng)CP=4-4時(shí)，△ADQ是等腰三角形.
考點(diǎn)：1.正方形;2.三角形的相似.