Question

8、小明是一位刻苦學(xué)習(xí)、勤于思考、勇于創(chuàng)造的同學(xué)．一天，他在解方程時(shí)，突然產(chǎn)生了這樣的想法，x²+1=0這個(gè)方程雖然在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，但是，假如存在這樣一個(gè)數(shù)i，使i²=-1，那么方程x²+1=0可以變?yōu)閤²=i²，則x=±i是方程x²+1=0兩個(gè)根．小明還發(fā)現(xiàn)i具有如下性質(zhì)：
i¹=i；i²=-1；i³=i²×I=（-1）×i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1；i⁵=i⁴×i=i；i⁶=（i²）³=（-1）³=-1；i⁷=i⁶×i=-i；i⁸=（i⁴）²=1…，請(qǐng)你觀察上述各式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：i⁴ⁿ⁺¹=

i

，i⁴ⁿ⁺²=

-1

，i⁴ⁿ⁺³=

-i

（n為自然數(shù)）．

Answer 1

分析：本題是一道規(guī)律題，根據(jù)題目中所給的條件尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每4個(gè)一循環(huán)，這樣就能得到i⁴ⁿ⁺¹，i⁴ⁿ⁺²，i⁴ⁿ⁺³的值．

解答：解：因?yàn)閕具有下列性質(zhì)：
i¹=i，i²=-1，i³=i²×i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1；
i⁵=i⁴•i=1×i=i，i⁶=i⁴•i²=1×（-1）=-1，i⁷=i⁴•i³=1×（-i）=-i，i⁸=i⁴•i⁴=1×1=1，…
根據(jù)以上性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)每4個(gè)一循環(huán)，
所以i⁴ⁿ⁺¹=（i⁴）ⁿ•i=1ⁿ•i=1×i=i，
i⁴ⁿ⁺²=（i⁴）ⁿ•i²=1ⁿ•（-1）=-1，
i⁴ⁿ⁺³=（i⁴）ⁿ•i³=1ⁿ•（-i）=-i．
故本題的答案分別是i，-1，-i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的解，根據(jù)題目所告訴的條件尋找規(guī)律，同時(shí)準(zhǔn)確運(yùn)用冪的乘方的法則．