Question

如圖，已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn).

（1）、求拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

（2）、點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)M作MN∥軸交拋物線于N，連接NB. 若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，是否存在t，使MN的長(zhǎng)最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)、若對(duì)一切x≥0均有ax²＋bx＋c≤mx－m+13成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

 (1) 用待定系數(shù)法，建立方程組正確（2分），拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x²+2x+3（2分）;

(2)MN=-t²+3t=-（t-1.5）²+2.25（2分）;當(dāng)t=1.5時(shí)（1分），MN的最大值為2.25；此時(shí)M（1.5，1.5），N（1.5，3.75）；得BM=; MN=; BN=;過(guò)點(diǎn)M作△BNM的高M(jìn)H，得MH=（1分）；sin∠MBN=（1分）；

（3）令y₁=-x²+2x+3； y₂=mx－m+13，得直線y₂=mx－m+13過(guò)點(diǎn)（1，13）（1分），當(dāng)y₁=y₂時(shí)，有-x²+2x+3=mx－m+13，其△=m²-36=0，得m=-6（2分），或m=6（因?yàn)?i> x≥0，所以舍去），當(dāng)直線y₂=mx－m+13過(guò)點(diǎn)C時(shí)，m=10（1分），由圖像可知，當(dāng)-6≤m≤10時(shí)，均有y₁≤y_2，所以m的取值范圍為-6≤m≤10（1分）。