【題目】如圖①,在ABC中,BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在ABC的外部作CED,使CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系 ;

(2)將CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),請判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請說明理由.

【答案】(1)AF=AE;(2)AF=AE,證明詳見解析;(3)結(jié)論不變,AF=AE,理由詳見解析.

【解析】

試題分析:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE,只要證明AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE,連接EF,DF交BC于K,先證明EKF≌△EDA再證明AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明EDF≌△ECA,再證明AEF是等腰直角三角形即可.

試題解析:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE.

理由:四邊形ABFD是平行四邊形,

AB=DF,

AB=AC,

AC=DF,

DE=EC,

AE=EF,

∵∠DEC=AEF=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE.

(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE.

理由:連接EF,DF交BC于K.

四邊形ABFD是平行四邊形,

ABDF,

∴∠DKE=ABC=45°,

EKF=180°﹣DKE=135°,

∵∠ADE=180°﹣EDC=180°﹣45°=135°,

∴∠EKF=ADE,

∵∠DKC=C,

DK=DC,

DF=AB=AC,

KF=AD,

EKF和EDA中,

,

∴△EKF≌△EDA,

EF=EA,KEF=AED,

∴∠FEA=BED=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE.

(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE.

理由:連接EF,延長FD交AC于K.

∵∠EDF=180°﹣KDC﹣EDC=135°﹣KDC,

ACE=(90°﹣KDC)+DCE=135°﹣KDC,

∴∠EDF=ACE,

DF=AB,AB=AC,

DF=AC

EDF和ECA中,

,

∴△EDF≌△ECA,

EF=EA,FED=AEC,

∴∠FEA=DEC=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

AF=AE.

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