Question

半徑分別為2、3的兩圓⊙P、⊙Q外切于點(diǎn)B，AB、BC分別是它們的直徑，點(diǎn)D在☉Q上，連接DA交⊙P于點(diǎn)E，連接BD、BE，BD正好平分∠CBE．
（1）試說(shuō)明：AD是⊙Q的切線
（2）試通過(guò)三角形相似求BE的長(zhǎng)
（3）試求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接QD，推出∠QDB=∠QBD=∠EBD，推出QD∥BE，根據(jù)圓周角定理求出∠AEB=90°，推出QD⊥AD即可；
（2）根據(jù)平行得出△AEB∽△ADQ，得出比例式，代入求出BE即可；
（3）根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出DE，根據(jù)勾股定理求出BD即可．
解答：（1）解：連接QD，
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切線．

（2）解：∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴=，
∴=，
∴．

（3）解：在△AEB中，由勾股定理得：AE==，
∵BE∥QD，
∴=，
即=，
∴DE=，
在△BED中，由勾股定理得：BD===，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要檢查學(xué)生能否熟練的運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算，題型較好，綜合性也比較強(qiáng)，難度適中．