【題目】已知:如圖12①、②、③,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P是邊BC上的一個動點.
(1)如圖①,若DE⊥AP,垂足為E,求證:△AED∽△PBA
(2)如圖②,在(1)的條件下,將DE沿AP方向平移,使P、E兩點重合,且與邊CD的交點為M,若MC=3,求BP的長.
(3)如圖③,Q是邊CD上的一個動點,若=2,且H,N,G分別為AP,PQ,PC的中點,請問:在P、Q兩點分別在BC、CD上運動的過程中,四邊形HPGN的面積是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由,若不變化,請求出它的面積.
【答案】(1)見解析;(2)BP的長為2或6;(3)四邊形HPGN的面積不會發(fā)生變化,它的面積是4
【解析】
(1)根據(jù)題意知∠DAE=∠APB,利用DE⊥AP,∠B=90°,即可得到△AED∽△PBA;
(2)根據(jù)題意可以證得△APB∽△PMC,設(shè)BP=x,則PC=8-x,利用相似的性質(zhì)=,將對應(yīng)的線段值代入進去,列出方程即可求解;
(3)根據(jù)題意設(shè)設(shè)CQ=k,則BP=2k,過點H作HF⊥BC于F,可證得△PHF∽△PAB,得出HF=AB=2,PF=PB=k,利用三角形中位線性質(zhì)可得△PNG∽△PQC,得出PG=4-k,NG=4,從而表示出四邊形HPGN的面積即可.
證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠DAE=∠APB.
又∵DE⊥AP,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠B,
∴△AED∽△PBA.
(2)由題意知MP⊥AP,
∴∠APM=90°,
∴∠APB+∠MPC=90°.
又∵∠APB+∠PAB=90°,
∴∠APB=∠PMC.
∵∠B=∠C=90°,
∴△APB∽△PMC,
∴=.
設(shè)BP=x,則PC=8-x,
∴=,
解得x=2或6,
∴BP的長為2或6.
(3)因為=2,設(shè)CQ=k,則BP=2k.
如圖,過點H作HF⊥BC于F,
又∵AB⊥BC,
∴HF∥AB,
∴△PHF∽△PAB,
∴===,
∴HF=AB=2,PF=PB=k.
∵N、G分別是PQ,PC的中點,
∴NG∥QC,
∴△PNG∽△PQC,
∴===,
∴PG=PC=( BC-BP)=4-k,NG=CQ=k.
∴S四邊形HPGN=S梯形HFGN-S△HFP=(k+2)(4-k+k)-×2k=k+4-k=4.
所以,四邊形HPGN的面積不會發(fā)生變化,它的面積是4.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且AD//BC,BD的垂直平分線經(jīng)過點O,分別與AD、BC交于點E、F
(1)求證:四邊形ABCD為平行四邊形;
(2)求證:四邊形BFDE為菱形.
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【題目】如圖,的直徑,半徑,為上一動點(不包括兩點),,垂足分別為.
(1)求的長.
(2)若點為的中點,
①求劣弧的長度,
②者點為直徑上一動點,直接寫出的最小值.
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【題目】某校在一次大課間活動中,采用了四鐘活動形式:A、跑步,B、跳繩,C、做操,D、游戲.全校學(xué)生都選擇了一種形式參與活動,小杰對同學(xué)們選用的活動形式進行了隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了不完整的統(tǒng)計圖.
請結(jié)合統(tǒng)計圖,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查學(xué)生共 人, = ,并將條形圖補充完整;
(2)如果該校有學(xué)生2000人,請你估計該校選擇“跑步”這種活動的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校讓每班在A、B、C、D四鐘活動形式中,隨機抽取兩種開展活動,請用樹狀圖或列表的方法,求每班抽取的兩種形式恰好是“跑步”和“跳繩”的概率.
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【題目】如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P為梯形ABCD外一點,PA、PD分別交線段BC于點E、F,且PA=PD.
(1)寫出三對你認為全等的三角形(不再添加輔助線);
(2)選擇你在(1)中寫出的全等三角形中的任意一對進行證明.
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【題目】如圖,河流兩岸PQ,MN互相平行,C、D是河岸PQ上間隔50m的兩個電線桿,某人在河岸MN上的A處測得∠DAB=30°,然后沿河岸走了100m到達B處,測得∠CBF=70°,求河流的寬度(結(jié)果精確到個位,=1.73,sin70°=0.94,cos70°=0.34,tan70°=2.75)
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【題目】為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,建設(shè)生態(tài)文明,某工廠自2019年1月開始限產(chǎn)并進行治污改造,其月利潤(萬元)與月份之間的變化如圖所示,治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分,治污完成后是一次函數(shù)圖象的部分,下列選項錯誤的是( )
A.4月份的利潤為萬元
B.污改造完成后每月利潤比前一個月增加萬元
C.治污改造完成前后共有個月的利潤低于萬元
D.9月份該廠利潤達到萬元
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點,與軸交于點,.點在函數(shù)圖像上,軸,且,直線是拋物線的對稱軸,是拋物線的頂點.
(1)求、的值;
(2)如圖①,連接,線段上的點關(guān)于直線的對稱點恰好在線段上,求點的坐標;
(3)如圖②,動點在線段上,過點作軸的垂線分別與交于點,與拋物線交于點.試問:拋物線上是否存在點,使得與的面積相等,且線段的長度最小?如果存在,求出點的坐標;如果不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合),在AC上取一點E,使∠ADE=30°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時,求AE的長.
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