【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是線段CB上的異于B、C的動(dòng)點(diǎn),AF⊥AE交線段CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,EF與AD交于點(diǎn)M.

(1)求證:△ABE∽△ADF;
(2)若AE⊥BD,求BE長(zhǎng);
(3)若△AEM是以AE為腰的等腰三角形,求BE的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°,AD∥BC,

∵AF⊥AE,∴∠EAF=90°,

∴∠BAD=∠EAF,

∴∠BAE=∠DAF,

∵∠ABE=∠ADF=90°,

∴△ABE∽△ADF


(2)

解:∵AD∥BC,

∴∠AEB=∠DAE,

∵AE⊥BD,

∴∠BAE+∠ABD=90°,

∵∠BAE+∠AEB=90°,

∴∠ABD=∠AEB,

∴∠AEB=∠ABD,

又∵∠ABE=∠BAD=90°,

∴△ABE∽△DAB,

,即 ,

解得:BE=


(3)

解:分兩種情況:

①當(dāng)AE=AM時(shí),∠AEF=∠AME,

∵AF⊥AE,

∴∠EAF=90°,

∵AD∥BC,

∴∠AME=∠CEF,

∴∠AEF=∠CEF,

在△AEF和△CEF中,

∴△AEF≌△CEF(AAS),

∴AE=CE,

設(shè)BE=x,則AE=CE=4﹣x,Rt△ABE中,

由勾股定理得:x2+32=(4﹣x)2,解得:x= ;

②當(dāng)AE=EM時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)N,如圖所示:

則AN=MN=BE=x,EN∥DF,

由(1)得:△ABE∽△ADF,

,即 ,

解得:DF= x,

∵EN∥DF,

∴∴△EMN∽△FMD,

,即 ,

解得:x= 或x=﹣6(舍去),

∴BE= ;

綜上所述,若△AEM是以AE為腰的等腰三角形,BE長(zhǎng)為


【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°,AD∥BC,證出∠BAE=∠DAF,即可得出結(jié)論;(2)證明△ABE∽△DAB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得出答案;(3)①當(dāng)AE=AM時(shí),證明△AEF≌△CEF(AAS),得出AE=CE,設(shè)BE=x,則AE=CE=4﹣x,Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;②當(dāng)AE=EM時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于點(diǎn)N,則AN=MN=BE=x,EN∥DF,由(1)得:△ABE∽△ADF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出DF= x,由平行線證明△EMN∽△FMD,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,得出方程,解方程即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的應(yīng)用(測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)請(qǐng)你在圖中找出一個(gè)與△AEC全等的三角形:;
(2)∠AEB的度數(shù)為;CE,AE,BE的數(shù)量關(guān)系為
(3)如圖2,△ACB是等腰直角三角形,∠AEB=90°,連接CE,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥CE,交BE于點(diǎn)D,試探究CE,AE,BE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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A. 邊上 B. 邊上 C. 邊上 D. 邊上

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A方法:剪6個(gè)側(cè)面; B方法:剪4個(gè)側(cè)面和5個(gè)底面。

現(xiàn)有19張硬紙板,裁剪時(shí)張用A方法,其余用B方法。

1)用的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面的個(gè)數(shù);

2)若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完,問(wèn)能做多少個(gè)盒子?

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(2)

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進(jìn)價(jià)(元/件)

20

30

售價(jià)(元/件)

29

40

(1)新瑪特購(gòu)物中心將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤(rùn)?

(2)該購(gòu)物中心第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,其中甲種商品的件數(shù)不變,乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍;甲商品按原價(jià)銷售,乙商品打折銷售,第二次兩種商品都銷售完以后獲得總利潤(rùn)比第一次獲得的總利潤(rùn)多160元,求第二次乙種商品是按原價(jià)打幾折銷售?

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