Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，F是AB邊上的兩點，以DF為直徑的⊙O與BC相交于點E，連接EF，∠OFE＝∠A.

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)若sinB＝，求∠FEC。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°

【解析】試題分析：（1）首先連接OE，由在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，可得FG∥AC，又由∠OFE=∠A，易得EF平分∠BFG，繼而證得OE∥FG，證得OE⊥BC，則可得BC是⊙O的切線；

（2）由sinB=得，∠B＝30°，從而∠A=60°，由∠OFE＝∠A得∠OFE=30°

故得∠FEC=60°

試題解析：（1）連接OE，

∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC，

∴∠BGF=∠C=90°，

∴FG∥AC，

∴∠OFG=∠A，

∴∠OFE=∠OFG，

∴∠OFE=∠EFG，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∴∠OEF=∠EFG，

∴OE∥FG，

∴OE⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）在RtΔABC中，sinB=

∴∠B=30°

∴∠A=60°

∵∠OFE=∠A，

∴∠OFE=30°

∴∠FEC=30°+30°=60°