【題目】已知如圖,矩形OABC的長OA=,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC.
(1)求∠PCB的度數(shù);
(2)若P,A兩點(diǎn)在拋物線y=﹣x2+bx+c上,求b,c的值,并說明點(diǎn)C在此拋物線上;
(3)(2)中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點(diǎn)D,與x軸相交于另外一點(diǎn)E,若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn),N是y軸上的點(diǎn),以點(diǎn)E、M、D、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,試求點(diǎn)M、N的坐標(biāo).
【答案】(1)∠PCB=30°.(2),當(dāng)x=0時(shí),y=1,故C(0,1)在拋物線的圖象上.(3)M(﹣,0),N(0,1).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)OC、OA的長,可求得∠OCA=∠ACP=60°(折疊的性質(zhì)),∠BCA=∠OAC=30°,由此可判斷出∠PCB的度數(shù).
(2)過P作PQ⊥OA于Q,在Rt△PAQ中,易知PA=OA=3,而∠PAO=2∠PAC=60°,即可求出AQ、PQ的長,進(jìn)而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),將P、A坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可得到b、c的值,從而確定拋物線的解析式,然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可.
(3)根據(jù)拋物線的解析式易求得C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo),然后分兩種情況考慮:
①DE是平行四邊形的對角線,由于CD∥x軸,且C在y軸上,若過D作直線CE的平行線,那么此直線與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn),而N點(diǎn)即為C點(diǎn),D、E的坐標(biāo)已經(jīng)求得,結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo),而C點(diǎn)坐標(biāo)已知,即可得到N點(diǎn)的坐標(biāo);
②DE是平行四邊形的邊,由于A在x軸上,過A作DE的平行線,與y軸的交點(diǎn)即為N點(diǎn),而M點(diǎn)即為A點(diǎn);易求得∠DEA的度數(shù),即可得到∠NAO的度數(shù),已知OA的長,通過解直角三角形可求得ON的值,從而確定N點(diǎn)的坐標(biāo),而M點(diǎn)與A點(diǎn)重合,其坐標(biāo)已知;
同理,由于C在y軸上,且CD∥x軸,過C作DE的平行線,也可找到符合條件的M、N點(diǎn),解法同上.
試題解析:(1)在Rt△OAC中,OA=,OC=1,則∠OAC=30°,∠OCA=60°;
根據(jù)折疊的性質(zhì)知:OA=AP=,∠ACO=∠ACP=60°;
∵∠BCA=∠OAC=30°,且∠ACP=60°,
∴∠PCB=30°.
(2)過P作PQ⊥OA于Q;
Rt△PAQ中,∠PAQ=60°,AP=;
∴OQ=AQ=,PQ=,
所以P(,);
將P、A代入拋物線的解析式中,得:,
解得;
即y=﹣x2+x+1;
當(dāng)x=0時(shí),y=1,故C(0,1)在拋物線的圖象上.
(3)①若DE是平行四邊形的對角線,點(diǎn)C在y軸上,CD平行x軸,
∴過點(diǎn)D作DM∥CE交x軸于M,則四邊形EMDC為平行四邊形,
把y=1代入拋物線解析式得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,1)
把y=0代入拋物線解析式得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣,0)
∴M(,0);N點(diǎn)即為C點(diǎn),坐標(biāo)是(0,1);
②若DE是平行四邊形的邊,
過點(diǎn)A作AN∥DE交y軸于N,四邊形DANE是平行四邊形,
∴DE=AN===2,
∵tan∠EAN==,
∴∠EAN=30°,
∵∠DEA=∠EAN,
∴∠DEA=30°,
∴M(,0),N(0,﹣1);
同理過點(diǎn)C作CM∥DE交y軸于N,四邊形CMDE是平行四邊形,
∴M(﹣,0),N(0,1).
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(1)求該二次函數(shù)的解析式;
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