Question

如圖，在第二象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x²（x＜0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：此題應分四種情況考慮：
①∠POQ=∠OAH=30°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標；
②∠POQ=∠AOH=60°，此時∠POH=30°，即直線y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標．
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；
解答：解：①當∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=60°，
所以直線y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：
解得 或
故A（-，3）；
②當∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得 或；
故P（-，），那么A（-，）；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：，
解得 或；
故P（-，），
∴OP=，QP=，
∴OH=OP=，AH=QP=，
故A（-，）；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：
解得 或．
∴P（-，3）；
∴QP=2，OP=2，
∴OH=QP=2，AH=OP=2，
故A（-2，2）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，則符合條件的點A的坐標是（-，3）；或（-，）或（-，）或（-2，2）．
故答案為：（-，3）；或（-，）或（-，）或（-2，2）
點評：此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點坐標的求法；由于全等三角形的對應頂點不明確，因此要注意分類討論思想的運用．