Question

正方形的頂點A在直線L上，分別過點B、C、D作直線L的垂線，垂足分別為M、N、R，當AB邊與直線L的夾角為45°時，如圖一，易證：DR+BN=CN．當AB與L的夾角不是45°時，如圖二，上述結(jié)論是否成立？若成立給出證明，若不成立，直接寫出DR、CN、BM的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

Answer 1

【答案】分析：過B點作BN于Q點，則四邊形BMNQ為矩形，由矩形的性質(zhì)得BM=QN，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC，則∠DAR+∠BAM=90°，∠ABQ+∠CBQ=90°，
由BQ∥l得到∠BAM=∠ABQ，于是有∠DAR=∠CBQ，易證Rt△ADR≌Rt△BCQ，則DR=CQ，即可證得DR+BN=CN．
解答：解：DR+BN=CN仍然成立．理由如下：
過B點作BN于Q點，
∵CN⊥l，BM⊥l，
∴四邊形BMNQ為矩形，
∴BM=QN，
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠DAR+∠BAM=90°，∠ABQ+∠CBQ=90°，
而BQ∥l，
∴∠BAM=∠ABQ，
∴∠DAR=∠CBQ，
∴Rt△ADR≌Rt△BCQ，
∴DR=CQ，
而CN=CQ+QN，
∴DR+BN=CN．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個角都等于90°．也考查了垂線的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．