Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在第一象限，點C在第四象限，點B在x軸的正半軸上．∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的長分別是二元一次方程組的解（OB＞OC）．

（1）求點A和點B的坐標；

（2）點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O，B重合），過點P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R．設點P的橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知t＝4時，直線l恰好過點C．

①當0＜t＜3時，求m關于t的函數(shù)關系式；

②當m＝時，求點P的橫坐標t的值．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為：（6，0），點A的坐標為：（3，3）；（2）①m＝t；②滿足條件的點P的橫坐標t的值為2或．

【解析】

(1)求出方程的解為，得出OB＝6，OC＝5，點B的坐標為:(6，0)，過點作AM⊥軸于M，則△AOB是等直角三角形，得出OM＝BM＝AM＝OB＝3，即可得出答;

(2)①過點C作CN⊥x軸于N，由題意得出ON＝4，由勾股定理得出CN＝＝3，得出點C的坐標為:(4，-3)，由待定系數(shù)法求出直線OC的解析式為:y＝x，得出R(t，t)，由待定系數(shù)法直線OA的解析式為:y＝x，得出Q(t，t)，即可得出結果;

②分三種情況:當時，m=, m=, 則t=2;

當3≤t<14時，由得定系數(shù)法出直AB的解析式為得出Q()，R)得出方程解方程即可；

當4≤t＜6時，由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為:y＝x-9，得Q(t，-t+6)，R(t，t-9)，得出方程，解方程即可.

解：（1）方程組的解為：，

∵OB＞OC，

∴OB＝6，OC＝5，

∴點B的坐標為：（6，0），

過點A作AM⊥x軸于M，如圖1所示：

∵∠OAB＝90°且OA＝AB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴OM＝BM＝AM＝OB＝×6＝3，

∴點A的坐標為：（3，3）；

（2）①過點C作CN⊥x軸于N，如圖2所示：

∵t＝4時，直線l恰好過點C，

∴ON＝4，

CN＝＝＝3，

∴點C的坐標為：（4，﹣3），

設直線OC的解析式為：y＝kx，

把C（4，﹣3）代入得：﹣3＝4k，

∴k＝﹣，

∴直線OC的解析式為：y＝﹣x，

∴R（t，﹣t），

設直線OA的解析式為：y＝k′x，

把A（3，3）代入得：3＝3k′，

∴k′＝1，

∴直線OA的解析式為：y＝x，

∴Q（t，t），

∴QR＝t﹣（﹣t）＝t，

即：m＝t；

②分三種情況：

當0＜t＜3時，m＝t，m＝，

則t＝，

解得：t＝2；

當3≤t＜4時，設直線AB的解析式為：y＝px+q，

把A（3，3）、B（6，0）代入得，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+6，

∴Q（t，﹣t+6），R（t，﹣t），

∴m＝﹣t+6﹣（﹣t）＝﹣t+6，

∵m＝，

∴﹣t+6＝，

解得：t＝10＞6（不合題意舍去）；

當4≤t＜6時，設直線BC的解析式為：y＝ax+b，

把B（6，0）、C（4，﹣3）代入得，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝x﹣9，

∴Q（t，﹣t+6），R（t， t﹣9），

∴m＝﹣t+6﹣（t﹣9）＝﹣t+15，

∵m＝，

∴﹣t+15＝，

解得：t＝；

綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標t的值為2或．