Question

【題目】在等腰中，，，點(diǎn)，點(diǎn)分別是軸，軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊交軸于點(diǎn)，斜邊交軸于點(diǎn).

（1）如圖①，當(dāng)?shù)妊?/span>運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：；

（2）如圖②，當(dāng)?shù)妊?/span>運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.在軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，P點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，則△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠AGC，從而得到結(jié)論；

（2）根據(jù)含30°的直角三角形的特點(diǎn)解直角三角形，分別求出OA和AB,然后設(shè)P(a,0)分情況討論即可．

解：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交y軸于點(diǎn)G，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴AD=CD，

∵AC=AB，，

∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵CG⊥AC ，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，

在△ACG和△ABD中，

∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠AGC，
∴∠ADB=∠CDE；

（2）存在，

∵，,

∴,即,

∴在Rt△AOB中根據(jù)勾股定理,

即,

解得OA=3，AB=2OA=6,

∴，

設(shè)P(a,0),則，

①若AP=BP,則AP2=BP2，即

，解得

∴,

②若AP=AB,則AP2=AB2，即

,解得或（舍去），

∴，

③若AB=AB,則AB2=AB2，即

，

解得或，

∴或，

綜上所述P點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．