Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過(guò)等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）求k的值；
（3）若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在雙曲線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△PAQ是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴AM=AN， 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），點(diǎn)A在直線y=3x-4上， ∴a=3a-4，解得a=2， 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2）； （2）易知k=4； （3）雙曲線上是存在一點(diǎn)Q，使得△PAQ是等腰直角三角形， 過(guò)B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點(diǎn)，連接AQ， 過(guò)A點(diǎn)作AP⊥AQ交x軸于P點(diǎn)，則△APQ為所求作的等腰直角三角形； 理由：在△AOP與△ABQ中，∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB， ∴∠OAP=∠BAQ，AO=BA，∠AOP=∠ABQ=45°， ∴△AOP≌△ABQ（ASA）， ∴AP=AQ， ∴△APQ是所求的等腰直角三角形， ∵B（4，0）， ∴Q（4，1）。