【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點D在拋物線上,DEy軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點D的橫坐標為t(0t4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2x﹣1;(2)p=﹣(t﹣2)2+,當(dāng)t=2時,p有最大值(3)“落點”的個數(shù)有4個,點A1坐標為(,0)或().

【解析】

試題分析:(1)把點B的坐標代入直線解析式求出m的值,再把點C的坐標代入直線求解即可得到n的值,然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;(2)令y=0求出點A的坐標,從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得ABO=DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到P與t的關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值問題解答;(3)根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)角為90°可得A1O1y軸時,B1O1x軸,旋轉(zhuǎn)角是180°判斷出A1O1在x軸上,B1O1y軸,根據(jù)B1縱坐標為1,求出B1橫坐標即可解決問題.

試題解析:(1)直線l:y=x+m經(jīng)過點B(0,﹣1),

m=﹣1,

直線l的解析式為y=x﹣1,

直線l:y=x﹣1經(jīng)過點C(4,n),

n=×4﹣1=2,

拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,﹣1),

,

解得

拋物線的解析式為y=x2x﹣1;

(2)令y=0,則x﹣1=0,

解得x=,

點A的坐標為(,0),

OA=

在RtOAB中,OB=1,

AB==,

DEy軸,

∴∠ABO=DEF,

在矩形DFEG,EF=DEcosDEF=DE=DE,

DF=DEsinDEF=DE=DE,

p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,

點D的橫坐標為t(0t4),

D(t, t2t﹣1),E(t, t﹣1),

DE=(t﹣1)﹣(t2t﹣1)=﹣t2+2t,

p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,

p=﹣(t﹣2)2+,且﹣0,

當(dāng)t=2時,p有最大值

(3)“落點”的個數(shù)有4個,如圖1,圖2,圖3,圖4所示.

如圖3,圖4中,B1O1=BO=1,則x2x﹣1=1,解得x=,

A1O1=,

圖3中,OA1=OO1+A1O1,圖4中OA1OO1+O1A1=

點A1坐標為(,0)或().

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銷售時段

銷售數(shù)量

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A種型號

B種型號

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5臺

7100元

第二周

6臺

10臺

12600元

(進價、售價均保持不變,利潤=銷售收入﹣進貨成本)

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