Question

【題目】如圖，在中，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、不重合時(shí)，過點(diǎn)作交折線于點(diǎn)，以為邊向左作正方形．設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為（平方單位），點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（秒）．

　　　　 備用圖

（1）用含的代數(shù)式表示的長．

（2）直接寫出點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)的取值范圍．

（3）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）直接寫出點(diǎn)落在的中位線所在直線上時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ=；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4），，，．

【解析】

（1）分兩種情況討論:當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí),當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí);

（2）先計(jì)算M在邊AB上時(shí)t的值,根據(jù)點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部時(shí)兩個(gè)邊界點(diǎn)即可解答;

（3）分三種情況:

①0＜t≤1時(shí),正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是四邊形DNPQ,

②當(dāng)1＜t＜ 時(shí),正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形ODNPQ,

③當(dāng)≤t＜2時(shí),正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是正方形MNPQ,

分別計(jì)算面積即可;

（4）點(diǎn)M落在△ABC的中位線所在直線上時(shí),存在四種情況,畫圖可解答．

解:（1）由題意得:BP＝2t,

如圖1,過A作AD⊥BC于D,

∵AB＝AC＝,BC＝4,

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴AD＝,

∴tan∠B＝＝,

分兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí),即0＜t≤1時(shí),如圖2,

∴tan∠B＝,

∴PQ＝t;

②當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí),即1＜t＜2時(shí),如圖3,

∴tan∠C＝tan∠B＝＝,

∴PQ＝PC＝＝2﹣t;

（2）當(dāng)M在邊AB上時(shí),如圖4,

由（1）知:MN＝PQ＝2﹣t＝PN,

tan∠B＝＝,

∴BN＝2MN,

∵BP＝BN+PN,

∴2t＝3MN＝3（2﹣t）,

t＝,

∴點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部時(shí)t的取值范圍是＜t＜2;

（3）分三種情況:

①0＜t≤1時(shí),如圖5,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是四邊形DNPQ,

BP＝2t,PQ＝PN＝MD＝t,

∴BN＝2t﹣t＝t,

∴DN＝t＝DM,

∴S＝S正方形MNPQ﹣S△MDQ＝;

②當(dāng)1＜t＜時(shí),如圖6,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形ODNPQ,

∵PQ＝PN＝MN＝2﹣t,

∴BN＝BP﹣PN＝2t﹣（2﹣t）＝3t﹣2,

∵tan∠B＝,DN＝BN＝ ,

∴DM＝MN﹣DN＝2﹣t﹣＝3﹣t,

∵tan∠MOD＝tan∠B＝＝,

∴OM＝2MD,

∴S＝S正方形MNPQ﹣S△MDO＝（2﹣t）2﹣＝（2﹣t）2﹣＝﹣ +11t﹣5;

③當(dāng)≤t＜2時(shí),如圖7,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是正方形MNPQ,

S＝PQ2＝（2﹣t）2＝t2﹣4t+4;

綜上,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:S＝；

（4）存在四種情況:

①如圖8,M在中位線MQ上,則Q是AB的中點(diǎn),BQ＝,

∴BP＝1＝2t,

t＝;

②如圖9,M在中位線MT上,則T是BC的中點(diǎn),BT＝2,

∴MT∥AC,

∴∠C＝∠BTM,

∴tan∠BTM＝,

∴NT＝BP,

∵BP+TN﹣BT＝PN,

∴2t+2t﹣2＝t,t＝;

③如圖10,M在中位線MQ上,

∴Q是AC的中點(diǎn),

同理得CP＝1＝4﹣2t,t＝,

④如圖11,M在中位線MT上,T是BC的中點(diǎn),

CP＝TN＝4﹣2t,PQ＝PN＝2﹣t,

∵CT＝TN+PN+PC,

∴2＝2（4﹣2t）+2﹣t,

t＝;

綜上,t的值是秒或秒或秒或秒．