【題目】(本題8分)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AD⊥BC于點D,直徑CF⊥AB于點E,AD、FC的延長線交于點M。

(1)求證:EF=EM;

(2)若,AC=8,求sinM的值.

【答案】(1)答案見解析 (2)

(1)證明:連AF,∵∠DCE=∠B+∠CEB=∠M+CDM而AD⊥BC于點D,CF⊥AB于點E,∴∠CEB=∠CDM∴∠B=∠M,又∵∠B=∠F,∴∠M=∠F,∴AM=AF∵EF=EM

(2)解:連AO,∵CF為直徑,AB⊥CF于點E,∴AE=BE∴CA=CB,∠B=∠BAC,而∠AOE=2∠B,∠ACD=∠B+∠BAC=2∠B∴∠ACD=∠AOE,又∵AD⊥BD,AE⊥CF,∴∠ADC=∠AEO

△ADC∽△AEO,,而AC=8,∴CF=2AO=12

∵CF為直徑,∴∠CAF=90°,∴在Rt△CAF中

AF= ==4,∴AM=4,易求

△OCA中AC上的高為2,用面積法求得AE=,sinM=

【解析】試題分析:本題考查了外角的性質(zhì),圓周角定理的推論,等腰三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理及其推論,相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理.

由三角形內(nèi)角和得到∠B=∠M,由圓周角定理的推論可得∠B=∠F,從而∠M=∠F, △AMF是等腰三角形,由三線合一的性質(zhì)可得EF=EM;

由垂徑定理可得CA=CB,∠B=∠BAC,由圓周角定理的推論和外角性質(zhì)可得∠ACD=∠AOE,進(jìn)而證明△ADC∽△AEO,得到,求出CF的長,然后根據(jù)勾股定理求AF,面積法求AE,從而求sinM的值.

試題解析:

(1)證明:連AF,∵∠DCE=∠B+∠CEB=∠M+CDM而AD⊥BC于點D,CF⊥AB于點E,∴∠CEB=∠CDM∴∠B=∠M,又∵∠B=∠F,∴∠M=∠F,∴AM=AF∵EF=EM

(2)解:連AO,∵CF為直徑,AB⊥CF于點E,∴AE=BE∴CA=CB,∠B=∠BAC,而∠AOE=2∠B,∠ACD=∠B+∠BAC=2∠B∴∠ACD=∠AOE,又∵AD⊥BD,AE⊥CF,∴∠ADC=∠AEO

△ADC∽△AEO,,而AC=8,∴CF=2AO=12

∵CF為直徑,∴∠CAF=90°,∴在Rt△CAF中

AF= ==4,∴AM=4,易求

△OCA中AC上的高為2,用面積法求得AE=,sinM=

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選手

方差(秒2

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0.021

0.022

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