【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)【發(fā)現(xiàn)證明】
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
(2)【類比引申】
如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時,仍有EF=BE+FD.
(3)【探究應(yīng)用】
如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40( ﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)

【答案】
(1)

證明:如圖(1),

∵△ADG≌△ABE,

∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,

又∵∠EAF=45°,即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°,

∴∠GAF=∠FAE,

在△GAF和△FAE中,

∴△AFG≌△AFE(SAS),

∴GF=EF,

又∵DG=BE,

∴GF=BE+DF,

∴BE+DF=EF


(2)∠BAD=2∠EAF
(3)

如圖3,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG,連接AF,過A作AH⊥GD,垂足為H.

∵∠BAD=150°,∠DAE=90°,

∴∠BAE=60°.

又∵∠B=60°,

∴△ABE是等邊三角形,

∴BE=AB=80米.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到:∠ADG=∠B=60°,

又∵∠ADF=120°,

∴∠GDF=180°,即點G在 CD的延長線上.

易得,△ADG≌△ABE,

∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE,

又∵AH=80× =40 ,HF=HD+DF=40+40( ﹣1)=40

故∠HAF=45°,

∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°

從而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°

又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF

∴根據(jù)上述推論有:EF=BE+DF=80+40( ﹣1)≈109(米),即這條道路EF的長約為109米.


【解析】【類比引申】延長CB至M,使BM=DF,連接AM,證△ADF≌△ABM,證△FAE≌△MAE,即可得出答案;
【探究應(yīng)用】利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得到△ABE是等邊三角形,則BE=AB=80米.把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△ADG,只要再證明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD.
【類比引申】∠BAD=2∠EAF.
理由如下:如圖(2),延長CB至M,使BM=DF,連接AM,
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABM=180°,
∴∠D=∠ABM,
在△ABM和△ADF中,
,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AF=AM,∠DAF=∠BAM,
∵∠BAD=2∠EAF,
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF,
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF,
在△FAE和△MAE中,
,
∴△FAE≌△MAE(SAS),
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF,
即EF=BE+DF.
故答案是:∠BAD=2∠EAF.

【考點精析】掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了.

練習(xí)冊系列答案
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操作探究:

(1)如圖3是在棱長為1的正方體右側(cè)拼搭了4個棱長小于1的正方體形成的長方體,請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形;

(2)已知一個長方體是按上述方式拼成的,組成它的正方體不超過10個,且若從上面看這個長方體得到的平面圖形由4個正方形組成.

請從A,B兩題中任選一題作答,我選擇   題.

A.請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形.(請畫出所有可能的圖形)

B.請畫出從上面看這個長方體得到的平面圖形.(請畫出所有可能的圖形,并在所畫圖形的下方直接寫出拼成該長方體所需的正方體的總個數(shù))

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(1)求BD的長;

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