Question

（2012•撫順一模）如圖，已知⊙O的半徑為1，直線AB的解析式為y=-x+2，A為直線AB與x軸的交點，把直線AB繞點A逆時針旋轉α度（0＜α＜180），當直線AB與⊙O相交時，α的取值范圍是

15°＜α＜75°

．

Answer 1

分析：當直線AB與⊙O相交時，α的取值范圍實際上是介于直線AB與⊙O兩次相切時直線AB旋轉的角度．
①如圖，當直線AB旋轉到l₁的位置時．設直線AB與圓O相切于點P，連接OP，則OP=1，且OP⊥AB．根據OA=2，可以推知∠OAP=30°，則α=45°-30°=15°；
②同理，當直線AB旋轉到l₂的位置時．求得α=30°+45°=75°．
綜上所述，可以求得15°＜α＜75°．

解答：解：∵直線AB的解析式為y=-x+2，A為直線AB與x軸的交點，
∴A（2，0），B（0，2）．
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=45°．
設直線AB與圓O相切于點P，連接OP，則OP=1，且OP⊥AB．
∴OA=2OP，
∴∠OAP=30°．
①如圖，當直線AB旋轉到l₁的位置時．∵0＜α＜180°，∴α=∠OAB-∠OAP=45°-30°=15°；
②當直線AB旋轉到l₂的位置時．∵0＜α＜180°，∴α=∠OAB+∠OAP=45°+30°=75°；
綜上所述，當直線AB與⊙O相交時，α的取值范圍是15°＜α＜75°．
故答案是：15°＜α＜75°．

點評：本題考查了一次函數綜合題．其中涉及到了一次函數圖象上點的坐標特征，切線的性質，以及含30度角的直角三角形等知識點．解題時，一定要分類討論，以防漏解．