Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB為直徑的⊙O經過點C.過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P.點D為圓上一點，且BC=CD ，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接BC．

（1）判斷OB和BP的數量關系,并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）OB=BP，理由見解析（2）3

【解析】

（1）由題文過C點切線，可連接OC得垂直，又根據直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可得OB=BP.

（2）由（1）可知AP的長，且∠P=30°，若∠E=90°，則可得AE=AP=3.又已知BC=CD,則∠BAD=60°，所以在△APE中∠E=90°.繼而得到答案.

解：（1）OB=BP.

連接OC，

∵PC切⊙O于點C，∴∠OCP=90°.

∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°.

∴∠COP=60°.∴∠P=30°.

在Rt△OCP中，OB=OC=OP= BP.

（2）由（1）得OB=OP.

∵⊙O的半徑是2，∴AP=3OB=3×2=6.

又∵BC=CD，∴∠CAD=∠BAC=30°，∠BAD=60°.

∵∠P=30°，∴∠E=90°.

在Rt△AEP中，AE=AP=×6=3.