【題目】(課題研究)旋轉(zhuǎn)圖形中對應(yīng)線段所在直線的夾角(小于等于的角)與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.
(問題初探)線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段,其中點與點對應(yīng),點與點對應(yīng),旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為,且.
(1)如圖(1)當(dāng)時,線段、所在直線夾角為______.
(2)如圖(2)當(dāng)時,線段、所在直線夾角為_____.
(3)如圖(3),當(dāng)時,直線與直線夾角與旋轉(zhuǎn)角存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(形成結(jié)論)旋轉(zhuǎn)圖形中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時,對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角_____.
(運用拓廣)運用所形成的結(jié)論求解下面的問題:
(4)如圖(4),四邊形中,,,,,,試求的長度.
【答案】(1)90°;(2)60°;(3)互補,理由見解析;相等或互補;(4).
【解析】
(1)通過作輔助線如圖1,延長DC交AB于F,交BO于E,可以通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到AB=CD,OA=OC,BO=DO,證明△AOB≌△COD,進而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°
(2)通過作輔助線如圖2,延長DC交AB于F,交BO于E,同(1)得∠BFE=∠EOD=60°
(3)通過作輔助線如圖3,直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補, 延長,交于點通過證明得,再通過平角的定義和四邊形內(nèi)角和定理,證得;
形成結(jié)論:通過問題(1)(2)(3)可以總結(jié)出旋轉(zhuǎn)圖形中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時,對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補;
(4)通過作輔助線如圖:將繞點順時針旋轉(zhuǎn),使得與重合,得到,連接,延長,交于點,可得,進一步得到△BDF是等邊三角形,,再利用勾股定理求得.
(1)解:(1)如圖1,延長DC交AB于F,交BO于E,
∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段CD,
∴AB=CD,OA=OC,BO=DO
∴△AOB≌△COD(SSS)
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D,∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案為:90°
(2)如圖2,延長DC交AB于F,交BO于E,
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段CD,
∴AB=CD,OA=OC,BO=DO
∴△AOB≌△COD(SSS)
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D,∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案為:60°
(3)直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補,
延長,交于點
∵線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段,
∴,,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補;
形成結(jié)論:旋轉(zhuǎn)圖形中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時,對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補;
(4)將繞點順時針旋轉(zhuǎn),使得與重合,得到,連接,延長,交于點,
∴旋轉(zhuǎn)角為,
∴,,,
∴△BDF是等邊三角形,
∵,,
∴,
∴.
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【題目】(9分)如圖,直線l經(jīng)過點A(1,6)和點B(﹣3,﹣2).
(1)求直線l的解析式,直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo);
(2)求△AOB的面積.
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【題目】課外閱讀是提高學(xué)生素養(yǎng)的重要途徑.某校為了解本校學(xué)生課外閱讀情況,對九年級學(xué)生進行隨機抽樣調(diào)查.如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖(不完整),請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是____ ____;
(2)在條形統(tǒng)計圖補中,計算出日人均閱讀時間在0.5~1小時的人數(shù)是____ ____,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,計算出日人均閱讀時間在1~1.5小時對應(yīng)的圓心角度數(shù)____ ____度;
(4)根據(jù)本次抽樣調(diào)查,試估計該市15000名九年級學(xué)生中日人均閱讀時間在0.5~1.5小時的人數(shù).
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【題目】(背景知識)
數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具,利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律:
例如,若數(shù)軸上點、點表示的數(shù)分別為、,則、兩點之間的距離,線段的中點表示的數(shù)為.
(問題情境)
在數(shù)軸上,點表示的數(shù)為-20,點表示的數(shù)為10,動點從點出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動,同時,動點也從點出發(fā)沿數(shù)軸負(fù)方向運動,已知運動到4秒鐘時,、兩點相遇,且動點、運動的速度之比是(速度單位:單位長度/秒).
備用圖
(綜合運用)
(1)點的運動速度為______單位長度/秒,點的運動速度為______單位長度/秒;
(2)當(dāng)時,求運動時間;
(3)若點、在相遇后繼續(xù)以原來的速度在數(shù)軸上運動,但運動的方向不限,我們發(fā)現(xiàn):隨著動點、的運動,線段的中點也隨著運動.問點能否與原點重合?若能,求出從、相遇起經(jīng)過的運動時間,并直接寫出點的運動方向和運動速度;若不能,請說明理由.
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【題目】某學(xué)校組織340名師生進行長途考察活動,帶有行李170件,計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共10輛.經(jīng)了解,甲車每輛最多能載40人和16件行李,乙車每輛最多能載30人和20件行李.
(1)請你幫助學(xué)校設(shè)計所有可行的租車方案.
(2)如果甲車的租金為每輛2 000元,乙車的租金為每輛1 800元,問哪種可行方案使租車費用最省?
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【題目】閱讀材料:
某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形的面積來解釋.例如,圖①可以解釋,因此,我們可以利用這種方法對某些多項式進行因式分解.
根據(jù)閱讀材料回答下列問題:
(1)如圖②所表示的因式分解的恒等式是________________________.
(2)現(xiàn)有足夠多的正方形和長方形卡片(如圖③),試畫出一個用若干張1號卡片、2號卡片和3號卡片拼成的長方形(每兩張卡片之間既不重疊,也無空隙),使該長方形的面積為,并利用你畫的長方形的面積對進行因式分解.
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【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(l)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.
(2)性質(zhì)探宄:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證)
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.
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【題目】隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進,廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè),據(jù)統(tǒng)計,目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬座,計劃到2020年底,全省5G基站數(shù)是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站數(shù)量將達到17.34萬座。
(1)計劃到2020年底,全省5G基站的數(shù)量是多少萬座?;
(2)按照計劃,求2020年底到2022年底,全省5G基站數(shù)量的年平均增長率。
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【題目】某商店在2015年至2017年期間銷售一種禮盒。2015年,該商店用3 500元購進了這種禮盒并且全部售完;2017年,這種禮盒的進價比2015年下降了11元/盒,該商店用2 400元購進了與2015年相同數(shù)量的禮盒也全部售完,禮盒的售價均為60元/盒.
(1)2015年這種禮盒的進價是多少元/盒?
(2)若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤的年增長率相同,問年增長率是多少?
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