【題目】已知:都是的直徑,都是的弦,于點,.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,延長交于點,求證:;
(3)如圖3,在(2)的條件下,延長,交于點,若,,求的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)要證明AH⊥CF,只要證明 即可,根據垂徑定理和∠AOF=∠BOC,即可證明結論成立;
(2)要證明PH=PD,只要證明PA=PC即可,根據AH=CD,即可得到,進而得到,然后即可得到結論成立;
(3)要求AP的長,需要作AK⊥QH于點K,再根據∠Q=45°,CQ=2和全等三角形的判定與性質、三角形的相似、勾股定理即可求得AP的長.
(1)證明:∵AH=CD,
∴,
∵AB是直徑,CD⊥AB,
∴,
∵∠AOF=∠BOC,
∴==,
∴AH⊥CF;
(2)證明:連接AC,如圖2所示,
∵AH=CD,
∴,
∴,
∴,
∴∠PCA=∠PAC,
∴PC=PA,
又∵CD=AH,
∴PD=PH,
即PH=PD;
(3)過點A作AK⊥QH于點K,連接DH,如圖3所示,
∵四邊形ACDH內接于⊙O,
∴∠PAC=∠PDH,
由(2)知,∠PAC=∠PCA,
∴∠PDH=∠PCA,
∴DH∥AC,
∴∠CQE=∠DHE,
∵∠CEQ=∠DHE,CE=DE,
∴△CQE≌△DHE(AAS),
∴EQ=EH,CQ=DH=2,
∵∠Q=45°,AK⊥QH,
∴∠Q=∠QAK=45°,
∴AK=QK,
∵∠CEQ+∠AEK=180°-∠AEC=90°,∠AEK+EAK=90°,
∴∠EAK=CEQ=∠PCA-∠Q=∠PAC-∠QAK=∠HAK,
∵∠AKE=∠AKH=90°,AK=AK,∠EAK=∠HAK,
∴△EAK≌△HAK(ASA),
∴EK=HK,AE=AH=CD,
設EK=x,則EH=EQ=2x,
解得,x=,
∴AC=10,AH=,
∵DH∥AC,∴△PDH∽△PCA,
解得,PA=,
即AP的長為.
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【題目】點C是半徑為1的半圓弧的一個三等分點,分別以弦、為直徑向外側作2個半圓,點D、E也分別是2半圓弧的三等分點,再分別以弦、、、為直徑向外側作4個半圓.則圖中陰影部分(4個新月牙形)的面積和是___________.
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【題目】如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,連接、,已知點A、C的坐標為、.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點P是線段下方拋物線上的一動點,如果在x軸上存在點Q,使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形,求點Q的坐標;
(3)如圖2,若點M是內一動點,且滿足,過點M作,垂足為N,設的內心為I,試求的最小值.
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【題目】第二十屆冬季奧林匹克運動會將于2022年在北京市和張家口市舉行,為了調查學生對冬季奧運會知識的了解情況,某校對七、八年級全體學生進行了相關知識的測試,然后從七、八年級各抽20名學生的成績(百分制),并對數據進行了整理、描述和分析,給出了部分信息.
1.七年級20名學生成績的頻數分別如下:
成績m分 | 頻數(人數) |
1 | |
2 | |
3 | |
8 | |
6 | |
合計 | 20 |
2.七年級20名學生成績在這一組的具體成績是:
87,88,88,88,89,89,89,89
3.七、八年級學生樣本成績的平均數,中位數,眾數如下表所示:
平均數 | 中位數 | 眾數 | |
七年級 | 84 | n | 89 |
八年級 | 84.2 | 85 | 85 |
根據以上信息,解得下列問題:
(1)表中n的值是 .
(2)在學生樣本成績中,某學生的成績是87分,在他所述的年級抽取的學生中排在前10名,根據表中數據判斷該生所在年級,并說明理由;
(3)七年級共有180名學生,若將不低于80分的成績定為優(yōu)秀學生,請估計七年級成績優(yōu)秀的人數.
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【題目】如圖,A,B是反比例函數(k≠0)圖象上的兩點,延長線段AB交y軸于點C,且B為線段AC的中點,過點A作AD⊥x軸于點D,E為線段OD的三等分點,且OE<DE.連接AE,BE.若S△ABE=7,則k的值為_________.
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【題目】實驗室里,水平桌面上有甲、乙、丙三個高都是10cm的圓柱形容器(甲、丙的底面積相同),用兩個相同的管子在容器的6cm高度處連通(即管子底離容器底6,管子的體積忽略不計),、現在三個容器中,只有甲中有水,水位高2,如圖①所示,若每分鐘同時向乙、丙中注入相同量的水,到三個容器都注滿水停止,乙、丙容器中的水位()與注水時間()的圖象如圖②所示.
(1)乙、丙兩個容器的底面積之比為 .
(2)圖②中的值為 ,的值為 .
(3)注水多少分鐘后,乙與甲的水位相差2?
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【題目】某初中學校餐廳為了解學生對早餐的要求,隨即抽樣調查了該校的部分學生,并根據其中兩個單選問題的調查結果,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.
學生能接受的早餐價格統(tǒng)計表
價格分組(單位:元) | 頻數 | 頻率 |
0<x≤2 | 60 | 0.15 |
2<x≤4 | 180 | c |
4<x≤6 | 92 | 0.23 |
6<x≤8 | a | 0.12 |
x>8 | 20 | 0.05 |
合計 | b | 1 |
根據以上信息解答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中,a= ,b= ,c= .
(2)扇形統(tǒng)計圖中,m的值為 ,“甜”所對應的圓心角的度數是 .
(3)該餐廳計劃每天提供早餐2000份,其中咸味大約準備多少份較好?
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【題目】某商場要經營一種文具,進價為20元/件,試營銷階段發(fā)現:當銷售價格為25元/件時,每天的銷售量為250件,每件銷售價格每上漲1元,每天的銷售量就減少10件.
(1)當每天的利潤為1440元時,為了讓利給顧客,每件文具的銷售價格應定為多少元?
(2)設每天的銷售利潤為W元,每件文具的銷售價格為x元,如果要求每天的銷售量不少于10件,且每件文具的利潤至少為25元.
①求W與x的函數關系式,并寫出自變量的取值范圍;
②問當銷售價格定為多少時,該文具每天的銷售利潤最大,最大利潤為多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(白云區(qū)校級二模)如圖,在△ABC中,AB=10,BC=12,以AB為直徑的⊙O交BC于點D.過點D的⊙O的切線垂直AC于點F,交AB的延長線于點E.
(1)連接OD,則OD與AC的位置關系是 .
(2)求AC的長.
(3)求sinE的值.
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