Question

【題目】定義：點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)，若滿足△PAB，△PBC，△PAC至少有一個(gè)三角形與△ABC相似（點(diǎn)P不與△ABC頂點(diǎn)重合），則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．

例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn)．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為(， )， AB⊥x軸于B點(diǎn)，在E(2，1)，F (， )，G (， )，這三個(gè)點(diǎn)中，其中是△AOB的自相似點(diǎn)的是 （填字母）；

（2）若點(diǎn)M是曲線C： （， ）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；

圖2

① 如圖2， ，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，且NM = NO，若點(diǎn)P是△MON的自相似點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若，點(diǎn)N為(2，0)，且△MON的自相似點(diǎn)有2個(gè)，則曲線C上滿足這樣條件的點(diǎn)M共有 個(gè)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出這些點(diǎn)（保留必要的畫圖痕跡）．

Answer 1

【答案】（1）F，G（2）①或②4

【解析】試題分析：（1）如圖，連接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．只要證明△OBG∽△OAB，可得點(diǎn)G是自相似點(diǎn)，△FOB∽△BAO，可得點(diǎn)F是自相似點(diǎn)．

（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H點(diǎn)．將M的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出直線OM的解析式．在Rt△MHN中，根據(jù)勾股定理求出ON＝MN＝m＝2．如圖2， ∽，過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于Q點(diǎn)，由相似的性質(zhì)得出， ．得出P1的橫坐標(biāo)為1，代入OM解析式求出即可求出P1的坐標(biāo)；如圖3， ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出P2N的長(zhǎng)，進(jìn)而可得P2的坐標(biāo)．

②以O為圓心2為半徑作圓交反比例函數(shù)于M1，M2，以N為圓心2為半徑作圓交反比例函數(shù)的圖象于M3，M4．滿足條件的點(diǎn)M有4個(gè)．

試題解析：

解：（1）如圖中，連接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．

由題意可知點(diǎn)G在OA上，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝60°，

∵tan∠GBM＝＝＝，

∴∠OBG＝30°，

∴∠BOG＝∠AOB，∠OBG＝∠A，

∴△OBG∽△OAB，

∴點(diǎn)G是自相似點(diǎn)，

同理可得∠FON＝∠A＝30°，∠FBO＝∠AOB＝60°，

∴△FOB∽△BAO，

∴點(diǎn)F是自相似點(diǎn)，

span>故答案為F，G；

（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H點(diǎn)．

∵M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，

∴.

∴.

∴，直線OM的表達(dá)式為．

∵MH⊥x軸，

∴在Rt△MHN中， °，．

設(shè)NM＝NO＝m，則.

∴.

∴ON＝MN＝m＝2．

如圖2， ∽，過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于Q點(diǎn)，

∴， ．

∵的橫坐標(biāo)為1，

∴.

∴．

如圖3， ，

∴.

∴．

∵的縱坐標(biāo)為，

∴.

∴.

∴．

綜上所述， 或．

②以O為圓心2為半徑作圓交反比例函數(shù)于M1，M2，以N為圓心2為半徑作圓交反比例函數(shù)的圖象于M3，M4．滿足條件的點(diǎn)M有4個(gè)．

故答案為4．