Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c(a＞0)與x軸交于A(﹣1，0)、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D，對稱軸為直線x＝1，交x軸于點E，tan∠BDE＝．

(1)求拋物線的表達式；

(2)若點P是對稱軸上一點，且∠DCP＝∠BDE，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)點P的坐標(biāo)為(1，﹣6)或(1，﹣)．

【解析】

（1）由點A的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸可得出AE＝2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出BE＝2，結(jié)合tan∠BDE＝ ，可得出DE的長度，進而可得出點D的坐標(biāo)，拋物線的表達式可設(shè)為y＝a（x﹣1）2﹣4，根據(jù)點A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出a的值，進而可得出拋物線的表達式；

（2）取點F（5，0），連接DF，過點C作CM⊥直線DE，垂足為點M，過點B作BN⊥直線DF，垂足為點N，則△DEF，△BNF為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出BN，DN的長度，進而可得出tan∠BDN＝，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點C的坐標(biāo)，結(jié)合點D的坐標(biāo)可得出△CDM為等腰直角三角形，分點P在點D的下方和點P在點D的上方兩種情況考慮：①當(dāng)點P在點D下方時，由∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°可得出∠CPM＝∠BDN，進而可得出tan∠CPM＝＝，代入CM＝1可求出MP，進而可求出點P的坐標(biāo)；②當(dāng)點P在點D上方時，由∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°可得出∠PCM＝∠BDN，進而可得出tan∠PCM＝＝，代入CM＝1可求出MP，進而可求出點P的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

(1)依照題意，畫出圖形，如圖1所示．

∵點A的坐標(biāo)為(﹣1，0)，拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴點E的坐標(biāo)為(1，0)，

∴BE＝AE＝2．

∵tan∠BDE＝ ＝，

∴DE＝2BE＝4，

∴點D的坐標(biāo)為(1，﹣4)．

∴拋物線的表達式可設(shè)為y＝a(x﹣1)2﹣4．

將(﹣1，0)代入y＝a(x﹣1)2+4，得：4a﹣4＝0，

解得：a＝1，

∴拋物線的表達式為y＝(x﹣1)2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．

(2)取點F(5，0)，連接DF，過點C作CM⊥直線DE，垂足為點M，過點B作BN⊥直線DF，垂足為點N，如圖2所示．

∵點D的坐標(biāo)為(1，﹣4)，

∴EF＝DE＝4，

∴△DEF為等腰直角三角形，

∴∠EDF＝∠EFD＝45°，DF＝4 ．

∵BN⊥DF，

∴△BNF為等腰直角三角形，

∴NB＝NF＝ BF＝，

∴DN＝DF﹣NF＝3，

∴tan∠BDN＝ ＝．

當(dāng)x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，

∴點C的坐標(biāo)為(0，﹣3)．

∵點D的坐標(biāo)為(1，﹣4)，CM⊥DE，

∴CM＝DM＝1，

∴△CDM為等腰直角三角形，

∴∠DCM＝∠CDM＝45°．

①當(dāng)點P在點D下方時，∵∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，

∴∠CPM＝∠BDN，

∴tan∠CPM＝＝，即＝，

∴MP＝3，

∴EP＝EM+MP＝6，

∴點P的坐標(biāo)為(1，﹣6)；

②當(dāng)點P在點D上方時，∵∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，

∴∠PCM＝∠BDN，

∴tan∠PCM＝＝，

∴MP＝，

∴EP＝EM+MP＝，

∴點P的坐標(biāo)為(1，﹣)．

綜上所述，點P的坐標(biāo)為(1，﹣6)或(1，﹣)．