Question

（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：將矩形紙片AOCB折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處（如圖），折痕為EF、小明發(fā)現(xiàn)△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（2）實(shí)踐與應(yīng)用：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以矩形的邊OC、OA為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，若頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3），請求出折痕EF的長及EF所在直線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）同意．根據(jù)∠AEF=∠EFC=∠EFA得AE=AF．
（2）作EG⊥OC于點(diǎn)G．則EG=3，求FG的長即可得EF的長．FG=OG-OF=AE-OF=AF-OF，設(shè)OF=x，則AF=FC=9-x．在△AOF中根據(jù)勾股定理求OF、AF，從而可求FG求解；根據(jù)E、F的坐標(biāo)可求直線EF的解析式．

解答：解：（1）同意．
理由：∵AB∥x軸，∴∠AEF=∠EFC．
根據(jù)折疊性質(zhì)，有∠AFE=∠EFC．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∴△AEF為等腰三角形．

（2）過點(diǎn)E作EG⊥OC于點(diǎn)G．
設(shè)OF=x，則CF=9-x；
由折疊可知：AF=9-x．
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²
∴3²+x²=（9-x）²，∴x=4，9-x=5．
∴AE=AF=5，
∴FG=OG-OF=5-4=1．
在Rt△EFG中，
EF²=EG²+FG²=10，
∴EF=

10

．
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵點(diǎn)E（5，3）和點(diǎn)F（4，0）在直線EF上，
∴3=5k+b，0=4k+b，
解得k=3，b=-12．
∴y=3x-12．

點(diǎn)評：此題通過圖形的折疊變換考查解直角三角形和一次函數(shù)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．