【題目】如圖,二次函數(shù)yax2+bx+2的圖象與x軸相交于點A(﹣10)、B4,0),與y軸相交于點C

1)求該函數(shù)的表達(dá)式;

2)點P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點,過點PPQBC,垂足為點Q,連接PC

求線段PQ的最大值;

若以點P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似,求點P的坐標(biāo).

【答案】1y=﹣x2+x+2;(2當(dāng)t2時,線段PQ的最大值為;滿足條件的P點坐標(biāo)為(32)或().

【解析】

1)設(shè)交點式y=ax+1)(x-4),再展開可得到-4a=2,解得a=-,然后寫出拋物線解析式;

2)①作PNx軸于N,交BCM,如圖,先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-x+2,設(shè)Pt,﹣ t2+t+2),則Mt,-t+2),用t表示出PM=-t2+2t,再證明PQM∽△BOC,利用相似比得到PQ=t2+t,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;

②討論:當(dāng)∠PCQ=OBC時,PCQ∽△CBOPCx軸,利用對稱性可確定此時P點坐標(biāo);當(dāng)∠CPQ=OBC時,CPQ∽△CBO,則∠CPQ=MPQ,所以PCM為等腰三角形,

PC=PM,利用兩點間的距離公式得到t2+(﹣ t2+t+222=(﹣t2+2t2,然后解方程求出t得到此時P點坐標(biāo).

1)拋物線解析式為yax+1)(x4),

yax23ax4a,

則﹣4a2,解得a=﹣ ,

所以拋物線解析式為y=﹣x2+x+2

2)①作PNx軸于N,交BCM,如圖,

BC,

當(dāng)x0時,y=﹣x2+x+22,則C02),

設(shè)直線BC的解析式為ymx+n

C0,2),B4,0)得,解得 ,

∴直線BC的解析式為y=﹣x+2,

設(shè)Pt,﹣ t2+t+2),則Mt,﹣ t+2),

PM=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+2t,

∵∠NBM=∠NPQ,

∴△PQM∽△BOC

,即PQ,

PQ=﹣t2+t=﹣t22+,

∴當(dāng)t2時,線段PQ的最大值為;

②當(dāng)∠PCQ=∠OBC時,PCQ∽△CBO,

此時PCOB,點P和點C關(guān)于直線x對稱,

∴此時P點坐標(biāo)為(3,2);

當(dāng)∠CPQ=∠OBC時,CPQ∽△CBO,

∵∠OBC=∠NPQ

∴∠CPQ=∠MPQ,

PQCM,

∴△PCM為等腰三角形,

PCPM,

t2+(﹣ t2+t+222=(﹣t2+2t2,

解得t

此時P點坐標(biāo)為(,),

綜上所述,滿足條件的P點坐標(biāo)為(3,2)或(,).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】中央電視臺的“中國詩詞大賽”節(jié)目文化品位高,內(nèi)容豐富,某校初二年級模擬開展“中國詩詞大賽”比賽對全年級同學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計后分為“優(yōu)秀”、“良好”、“一般”、“較差”四個等級,并根據(jù)成績繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息,回答下列問題

1)扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”所對應(yīng)的扇形的圓心角為 ,并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.

2)此次比賽有四名同學(xué)活動滿分,分別是甲、乙、丙、丁,現(xiàn)從這四名同學(xué)中挑選兩名同學(xué)參加學(xué)校舉行的“中國詩詞大賽”比賽請用列表法或畫樹狀圖法,求出選中的兩名同學(xué)恰好是甲、丁的概率.

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【題目】無影塔位于河南汝南城南,俗傳冬至正午無塔影,故稱無影塔;相傳為唐代和尚悟顆所建,故又稱悟穎塔,該塔應(yīng)建于北宋中、早期,為豫南地區(qū)現(xiàn)存最古之磚塔.某數(shù)學(xué)小組為了度量塔高進(jìn)行了如下操作:用一架無人機(jī)在距離塔基8米處垂直起飛30米至點處,測得塔基處的俯角為,將無人機(jī)沿水平方向向右飛行米至點,在此處測得塔頂的俯角為,請依據(jù)題中數(shù)據(jù)計算無影塔的高度.(結(jié)果精確到,參考數(shù)據(jù):,

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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,過A點作AMBCM,交BDE,過C點作CNADN,交BDF,連接AF、CE.

(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;

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【題目】某校為了慶祝建國七十周年,決定舉辦一臺文藝晚會,為了了解學(xué)生最喜愛的節(jié)目形式,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,規(guī)定每人從歌曲,舞蹈,小品相聲其它五個選項中選擇一個,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖中信息,解答下列題:

最喜愛的節(jié)目

人數(shù)

歌曲

15

舞蹈

a

小品

12

相聲

10

其它

b

1)在此次調(diào)查中,該校一共調(diào)查了   名學(xué)生;

2a   ;b   ;

3)在扇形計圖中,計算歌曲所在扇形的圓心角的度數(shù);

4)若該校共有1200名學(xué)生,請你估計最喜愛相聲的學(xué)生的人數(shù).

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【題目】如圖,已知在RtABC中,,以BC為直徑作AB于點E,DAC邊的中點,連接OD、DE,

1)求證:DE的切線.

2)填空:①若,,則的半徑長是__________

②當(dāng)∠A__________時,四邊形OCDE是正方形.

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182

195

201

179

208

204

186

192

210

204

175

193

200

203

188

197

212

207

185

206

188

186

198

202

221

199

219

208

187

224

1)對抽取的30株水稻稻穗谷粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計分析,請補(bǔ)全下表中空格,并完善直方圖:

谷粒顆數(shù)

175≤x185

185≤x195

195≤x205

205≤x215

215≤x225

頻數(shù)

8

10

3

對應(yīng)扇形

圖中區(qū)域

D

E

C

2)如圖所示的扇形統(tǒng)計圖中,扇形A對應(yīng)的圓心角為   度,扇形B對應(yīng)的圓心角為  度;

3)該試驗田中大約有3000株水稻,據(jù)此估計,其中稻穗谷粒數(shù)大于或等于205顆的水稻有多少株?

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【題目】如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸上方,點C的坐標(biāo)是(1,0),以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍,得到△A'B'C',設(shè)點B的對應(yīng)點B'的橫坐標(biāo)為2,則點B的橫坐標(biāo)為(  )

A.1B.C.2D.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上,頂點的坐標(biāo)為.點是邊上的一個動點(不與、重合),反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點且與邊交于點,連接

1)當(dāng)點是邊的中點時,求反比例函數(shù)的表達(dá)式

2)在點的運動過程中,試證明:是一個定值.

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