【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和圖形M,給出如下定義:Q為圖形M上任意一點(diǎn),如果兩點(diǎn)間的距離有最大值,那么稱(chēng)這個(gè)最大值為點(diǎn)P與圖形M間的開(kāi)距離,記作.已知直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,的半徑為1.
(1)若,
①求的值;
②若點(diǎn)C在直線上,求的最小值;
(2)以點(diǎn)A為中心,將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,點(diǎn)E在線段組成的圖形上,若對(duì)于任意點(diǎn)E,總有,直接寫(xiě)出b的取值范圍.
【答案】(1)①3;②;(2)或
【解析】
(1)①直接利用圓外一點(diǎn)到圓上的一點(diǎn)的最大距離,即可得出結(jié)論;
②先判斷出OC⊥AB時(shí),OC最短,即可得出結(jié)論;
(2)Ⅰ、當(dāng)b>0時(shí),當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí),d(E,⊙O)最小,當(dāng)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)D時(shí),d(E,⊙O)最大,即可得出結(jié)論;
Ⅱ、當(dāng)b<0時(shí),同Ⅰ的方法即可得結(jié)論.
解:(1)①根據(jù)題意可知.
.
②如圖,過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)C,此時(shí)取得最小值.
直線與x軸交于點(diǎn)A,
.
.
.
.
的最小值為.
(2)或
Ⅰ、當(dāng)b>0時(shí),如圖2,
針對(duì)于直線y=x+b(b≠0),
令x=0,則y=b,
∴B(0,b),
∴OB=b,
令y=0,則0=x+b,
∴x=b,
∴A(b,0),
∴OA=b,
則AB=2b,tan∠OAB==,
∴∠OAB=30°,
由旋轉(zhuǎn)知,AD=AB=2b,∠BAD=120°,
則有∠OAD=90°,
連接OD,
∴OD==b,
∵⊙O的半徑為1,
∴當(dāng)線段AB與⊙O相切時(shí),d(E,⊙O)最小=2,
同(1)的方法得,OF==1,
∴b=(舍去負(fù)值),
對(duì)于任意點(diǎn)E,總有2≤d(E,⊙O)<6,
∴b<6-1,
∴b<,
即≤b<;
Ⅱ、當(dāng)b<0時(shí),如圖3,
同Ⅰ的方法得,-<b≤-,
綜上述,-<b≤-或≤b<.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E,DH⊥AE于點(diǎn)H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交BF于點(diǎn)O,下列結(jié)論:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BCCF=2HE.其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF.
(1)求證:D是BC的中點(diǎn);
(2)若BA⊥AC,試判斷四邊形AFBD的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在菱形中,,點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到,連接,連接并延長(zhǎng),分別交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)已知,若的最小值為,求菱形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.
已知:直線l及直線l外一點(diǎn)P.
求作:直線,使得.
作法:如圖,
①任意取一點(diǎn)K,使點(diǎn)K和點(diǎn)P在直線l的兩旁;
②以P為圓心,長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交l于點(diǎn),連接;
③分別以點(diǎn)為圓心,以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q和點(diǎn)A在直線的兩旁);
④作直線.
所以直線就是所求作的直線.
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:連接,
______,______,
四邊形是平行四邊形(__________)(填推理依據(jù)).
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年初,新冠肺炎肆虐全球.我國(guó)政府和人民采取了積極有效的防疫措施,疫情在我國(guó)得到了有效控制.小明為復(fù)學(xué)到藥店購(gòu)買(mǎi)口罩和一次性醫(yī)用口罩.已知購(gòu)買(mǎi)個(gè)口罩和個(gè)一次性醫(yī)用口罩共需元;購(gòu)買(mǎi)個(gè)口罩和個(gè)一次性醫(yī)用罩共需元.
(1)求口罩與一次性醫(yī)用口罩的單價(jià);
(2)小明準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)口罩和一次性醫(yī)用口罩共個(gè),且口罩的數(shù)量不少于一次性醫(yī)用口罩?jǐn)?shù)量的.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象過(guò)Rt△ABO斜邊OB的中點(diǎn)D,與直角邊AB相交于點(diǎn)C,連接AD,OC.若△ABO的周長(zhǎng)為,AD=2,則△ACO的面積為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左邊),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求、、三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連接,,,若點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),求的值(點(diǎn)不與點(diǎn)重合);
(3)連接,將沿軸正方向平移,設(shè)移動(dòng)距離為,當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí),停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與重疊部分的面積為,請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料
材料1:若一個(gè)自然數(shù),從左到右各位數(shù)上的數(shù)字與從右到左各位數(shù)上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同,則稱(chēng)為“對(duì)稱(chēng)數(shù)”.
材料2:對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù),將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字,得到三個(gè)新的數(shù)字,,,我們對(duì)自然數(shù)規(guī)定一個(gè)運(yùn)算:.
例如:是一個(gè)三位的“對(duì)稱(chēng)數(shù)”,其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字分別是:2、8、2.
則.
請(qǐng)解答:
(1)一個(gè)三位的“對(duì)稱(chēng)數(shù)”,若,請(qǐng)直接寫(xiě)出的所有值, ;
(2)已知兩個(gè)三位“對(duì)稱(chēng)數(shù)”,若能被11整數(shù),求的所有值.
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