Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)M作MN//BC交AC于點(diǎn)N，以MN為直徑作⊙O，設(shè)AM=x

（1）用含x的代數(shù)式表示△AMN的面積S；
（2）M在AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)（如圖①），求x的值；
（3）M在AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙O與BC相交時(shí)（如圖②），在⊙O上取一點(diǎn)P，使PM//AC，連接PN，PM交BC于E，PN交BC于點(diǎn)F，設(shè)梯形MNFE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：27、解：（1）∵M(jìn)N//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC
∴，即，∴
∵AM⊥AN，∴   
（2）設(shè)BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連接AO、OD，

則AO=OD=MN
在Rt△ABC中，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，即，∴，∴  
過(guò)M作MQ⊥BC于Q，則
則△BMQ∽△ABC，
∴，∴
∵
∴                                   
（3）

∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四邊形AMPN是矩形
∴PN=AM=x
又∵四邊形BFNM是平行四邊形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-(4-x)=2x-4
又Rt△PEF∽R(shí)t△ABC，∴，  
∴
∵
∴
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生結(jié)合四邊形性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的綜合能力，為中考常考題型，要求學(xué)生多做訓(xùn)練，掌握這類題型解題技巧。確定動(dòng)點(diǎn)在一定范圍內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式為解題關(guān)鍵。