Question

（2011•大田縣質(zhì)檢）數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)二次函數(shù)y=ax²+2x+3（a≠0）的圖象進(jìn)行研究得出一條結(jié)論：無(wú)論a取任何不為0的實(shí)數(shù)，拋物線頂點(diǎn)p都在某一條直線上．請(qǐng)你用“特殊-一般-特殊”的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探究：
（1）完成下表

a的取值	-1	1
頂點(diǎn)p的坐標(biāo)

并猜想拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）頂點(diǎn)p所在直線的解析式；
（2）請(qǐng)對(duì)（1）中所猜想的直線解析式加以驗(yàn)證、在所求的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是拋物線y=ax²+2x+3（a≠0）的頂點(diǎn)，請(qǐng)你寫(xiě)出它的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)a=-1時(shí)，則拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)為P，交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)C、試探究在拋物線y=-x²+2x+3上是否存在除點(diǎn)P以外的點(diǎn)E，使得△ACE與△APC的面積相等？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)的值代入拋物線并把解析式整理成頂點(diǎn)式解析式，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式求出頂點(diǎn)P所在的直線解析式；
（2）寫(xiě)出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后消掉參數(shù)a整理即可證明；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，利用分母不等于0求解直線不可以的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，根據(jù)點(diǎn)A、C、P的坐標(biāo)可得∠ACO=45°，∠PCF=45°，然后求出PC⊥AC，再求出點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)P′，根據(jù)平行線間的距離相等，等底等高的三角形相等可知過(guò)點(diǎn)P與AC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E，然后聯(lián)立直線與拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）a=-1時(shí)，二次函數(shù)y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
a=1時(shí)，二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），
設(shè)頂點(diǎn)P所在的直線解析式為y=kx+b，
則

k+b=4 -k+b=2

，
解得

k=1 b=3

，
所以，直線解析式為y=x+3；

（2）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，
x=-

2

2a

=-

1

a

①，
y=

4a×3-4

4a

=3-

1

a

②，
①②聯(lián)立消掉a得，y=x+3，
∵分母為0無(wú)意義，
∴x≠0，y≠3，
∴點(diǎn)（0，3）不是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）存在．
理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)為P（1，4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（3，0），
∴△AOC，△PCF都是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，∠PCF=45°，
∴∠ACP=90°，故PC⊥AC，
根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可得點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)P′（-1，2），
根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得過(guò)點(diǎn)P、P′與AC平行的直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直線AC的解析式為y=-x+3，
又平行直線的解析式的k值相等，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為y=-x+m，
則-1+m=4，
解得m=5，
所以直線解析式為y=-x+5，
聯(lián)立

y=-x+5 y=-x2+2x+3

，
解得

x1=1 y1=4

，

x2=2 y2=3

，
∵點(diǎn)P（1，4），∴點(diǎn)E₁（2，3），
設(shè)過(guò)點(diǎn)P′的直線為y=-x+n，
則1+n=2，
解得n=1，
所以直線解析式為y=-x+1，
聯(lián)立

y=-x+1 y=-x2+2x+3

，
解得

x1= 3+ 17 2 y1= -1- 17 2

，

x1= 3- 17 2 y1= -1+ 17 2

，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₂（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

），E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

），
綜上所述，存在點(diǎn)E₁（2，3），E₂（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

），E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

），使得△ACE與△APC的面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式，等底等高的三角形的面積相等，互相平行的直線的解析式的k值相等，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的求法，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，（2）中利用消參數(shù)法消掉字母a得到關(guān)于x、y的直線解析式，（3）要注意分點(diǎn)E在直線AC的兩側(cè)兩種情況求解．