Question

【題目】如圖，在△ABC中．∠C=90°，AC＞BC，正方形CDEF的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)F在射線CB上設(shè)CD=x，正方形CDEF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n時(shí)，函數(shù)的解析式不同）．

（1）填空：m的值為 ；

（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）S的值能否為？若能，直接寫出此時(shí)x的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；(2) S=；(3)不能，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)0＜x≤m時(shí)，結(jié)合圖形可知S=x2，把點(diǎn)（m，）代入可求得m的值；

（2）結(jié)合圖形的變換可知當(dāng)m＜x≤2時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，可求得BC，當(dāng)x=m時(shí)，可得△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AC的長，當(dāng)m＜x≤2，設(shè)AB分別交DE、EF于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，可用x分別表示出PE和QE，S=S正方形CDEF-S△PEQ，可得到S與x的關(guān)系式，當(dāng)2＜x≤n時(shí)，設(shè)AB交DE于點(diǎn)H，可用x表示出AP和PH，則有S=S△ABC-S△APH，可得到S與x的關(guān)系式，從而可求得函數(shù)解析式；

（3）利用（2）中所求得關(guān)系式，分別令S=，解相應(yīng)的方程進(jìn)行判斷即可．

試題解析：（1）當(dāng)0＜x≤m時(shí)，如圖1，

則可知點(diǎn)F從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB上，

∴S=x2，

∵點(diǎn)（m，）在函數(shù)圖象上，

∴m2=，解得m=或m=-（舍去），

（2）當(dāng)＜x≤2時(shí)，可知點(diǎn)F從E點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，

∴BC=2，

在圖1中，由EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴，且CF=EF=，BF=BC-CF=2-=，

∴，解得AC=6，

①當(dāng)0＜x≤時(shí)，由（1）可知S=x2；

②當(dāng)＜x≤2時(shí)，設(shè)AB分別交DE、EF于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，如圖2，

當(dāng)CD=CF=DE=EF=x時(shí)，BF=2-x，AD=6-x，

∵EF∥AC，

∴，即，

∴FQ=3（2-x），

∴QE=EF-FQ=x-3（2-x）=4x-6，

同理可得，即，

∴PD=（6-x），

∴PE=DE-PD=x-（6-x）=（4x-6），

∴S△PEQ=PEPQ=×（4x-6）（4x-6）=（4x-6）2，

∴S=S正方形CDEF-S△PEQ=x2-（4x-6）2=-x2+8x-6；

③當(dāng)2＜x≤6時(shí)，即點(diǎn)F從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使A、D重合，設(shè)AB交DE于點(diǎn)H，如圖3，

當(dāng)CD=x時(shí)，則AD=6-x，

同理可得，即，

∴DH=（6-x），

∴S△ADH=DHAD=×（6-x）（6-x）=（6-x）2，且S△ABC=ACBC=6，

∴S=S△ABC-S△APH=6-（6-x）2=-x2+2x；

綜上可知S=；

（3）若S=，則有三種情況，

①當(dāng)x2=時(shí)，則x=±，當(dāng)x=-時(shí)顯然不滿足條件，當(dāng)x=時(shí)，＞，也不滿足條件；

②當(dāng)-x2+8x-6=時(shí)，整理可得10x2-48x+75=0，該方程判別式△=482-4×10×75＜0，即該方程無實(shí)數(shù)解；

③當(dāng)-x2+2x=時(shí)，整理可得x2-12x+39=0，該方程判別式△=122-4×39＜0，即該方程無實(shí)數(shù)解；

綜上可知S的值不能為．