【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.拋物線的對稱軸與x軸交于點E,過點Cx軸的平行線,與拋物線交于點D,連接DE,延長DEy軸于點F,連接AD、AF.

(1)A的坐標(biāo)為____________,點B的坐標(biāo)為_________ ;

(2)判斷四邊形ACDE的形狀,并給出證明;

(3)當(dāng)a為何值時,ADF是直角三角形?

【答案】(1)A(﹣1,0),點B(3,0);(2)四邊形ACDE是平行四邊形.證明見解析;(3)當(dāng)時,△ADF為直角三角形.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的解析式可知當(dāng)y=0,x=﹣1x=3,即可得解;

(2)由(1)可得拋物線對稱軸為直線x=1,根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)易得AE=CD=2,又因為,所以四邊形ACDE是平行四邊形;

(3)過點DDG⊥AB于點G,通過“角邊角”易證△OEF ≌△DEG,OF=GD=3a,F點坐標(biāo)為(0,-3a),①∠DAF=90°,則∠DAG+∠FAO=90°,然后證明△AOF∽△DGA,得到,然后求得符合題意的a即可;∠DFA=90°,則∠DFC+∠AFO=90°,易得OF垂直平分AE,AF=EF,∠DFC=∠AFO=45°,所以OF=OA,,a=.

(1)根據(jù)題意可知,

∵y=﹣a(x+1)(x﹣3),

當(dāng)y=0時,x=﹣1x=3,

A(﹣1,0),點B(3,0);

(2)四邊形ACDE是平行四邊形.

證明如下:令,,

A(﹣1,0),B(3,0),

拋物線的對稱軸為直線x=1,

∴點D(2,3a),E(1,0),

∴AE=CD=2,

,

四邊形ACDE是平行四邊形;

(3)過點DDG⊥AB于點G,由,可知OE=GE,

∵∠FOE=∠DGE=90°,∠OEF=∠GED,

∴△OEF ≌△DEG(ASA),

∴OF=GD=3a,

∴F點坐標(biāo)為(0,-3a),

討論:∠DAF=90°,則∠DAG+∠FAO=90°,

∠FAO+∠AFO=90°,

∴∠DAG=∠AFO,

∠AOF=∠DGA=90°,

∴△AOF∽△DGA,

,

,

,

∵a > 0,

以上各步均可逆,故合題意

∠DFA=90°,則∠DFC+∠AFO=90°,

,

∴OF垂直平分AE,

∴AF=EF,

∴∠DFC=∠AFO=45°,

∴OF=OA,

,

以上各步均可逆,故合題意.

綜上,當(dāng)時,△ADF為直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上,連接CF.

①寫出線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系;

②寫出直線CF與DG所夾銳角的度數(shù).

(2)拓展探究:

如圖②,將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過程中,(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請利用圖②進(jìn)行說明.

(2)問題解決

如圖③,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=4,O為AC的中點.若點D在直線BC上運動,連接OE,則在點D的運動過程中,線段OE的長的最小值.(直接寫出結(jié)果)

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(1)根據(jù)信息填表

產(chǎn)品種類

每天工人數(shù)(人)

每天產(chǎn)量(件)

每件產(chǎn)品可獲利潤(元)

15

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元,求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤.

(3)該企業(yè)在不增加工人的情況下,增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品,要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每人每天可生產(chǎn)1件丙(每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品),丙產(chǎn)品每件可獲利30元,求每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤W(元)的最大值及相應(yīng)的x值.

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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BC=5,CD=6,DCB=60°,等邊PMN(N為固定點)的邊長為x,邊MN在直線BC上,NC=8.將直角梯形ABCD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到①的位置,再繞點D1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到②的位置,如此旋轉(zhuǎn)下去.

(1)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)四次,如果等邊PMN的邊長為x≥5+3,求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積;

(2)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是,求等邊PMN的邊長x的范圍.

(3)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半,求等邊PMN的邊長x.

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(1)A的坐標(biāo)為____________,點B的坐標(biāo)為_________ ;

(2)判斷四邊形ACDE的形狀,并給出證明;

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【題目】如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民樓,已知點A到MN的距離為15米,BA的延長線與MN相交于點D,且∠BDN=30°,假設(shè)汽車在高速道路上行駛時,周圍39米以內(nèi)會受到噪音(XRS)的影響.

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朝下數(shù)字

1

2

3

4

出現(xiàn)的次數(shù)

16

20

14

10

(1)計算上述試驗中“4朝下”的頻率是   

(2)隨機(jī)投擲正四面體兩次,請用列表或畫樹狀圖法,求兩次朝下的數(shù)字之和大于4的概率.

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的最大距離是5m

1經(jīng)過討論,同學(xué)們得出三種建立平面直角坐標(biāo)系的方案如下圖

你選擇的方案是_____填方案一方案二,或方案三),B點坐標(biāo)是______,求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式;

2因為上游水庫泄洪水面寬度變?yōu)?/span>6m,求水面上漲的高度

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