【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,直線EF分別交兩直角邊AB、BC與E、F兩點(diǎn),且EF∥AC,P是斜邊AC的中點(diǎn),連接PE,PF,且AB=,BC=

(1)當(dāng)E、F均為兩直角邊的中點(diǎn)時(shí),求證:四邊形EPFB是矩形,并求出此時(shí)EF的長(zhǎng);

(2)設(shè)EF的長(zhǎng)度為x(x>0),當(dāng)∠EPF=∠A時(shí),用含x的代數(shù)式表示EP的長(zhǎng);

(3)設(shè)△PEF的面積為S,則當(dāng)EF為多少時(shí),S有最大值,并求出該最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析,EF=1;

(2)∴EP=

(3)∴當(dāng)EF=1時(shí),S有最大值為

【解析】試題分析:(1)先求出四邊形EPFB是平行四邊形,再由∠B=90°得出四邊形EPFB是矩形,利用勾股定理求出EF

2)證明APE∽△PEF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得出結(jié)果.

3)作FHACAC于點(diǎn)H,設(shè)EF=x,得出BF,CFFH的值,再利用三角形面積求出EF及最大值,利用中位線定理即可求出EP的值.

試題解析:(1)如圖1,

EAB的中點(diǎn),PAC的中點(diǎn),

EPBC,且EP=BC,

FBC的中點(diǎn),

EPBF,且EP=BF

四邊形EPFB是平行四邊形,

∵∠B=90°,

∴四邊形EPFB是矩形,

2AB=,BC=

BE=BF=,

EF==1

2EFAC

∴∠APE=PEF,∵∠EPF=A

∴△APE∽△PEF

,

AP=1,EF=x

EP2=x,

EP=

3)如圖2,作FHACAC于點(diǎn)H,

EFAC,

∴△BEF∽△BAC,

設(shè)EF=x,則BF=x,CF=x,

FH=CF=x,

S=EFFH=x2+x=x12+,

∴當(dāng)x=1,即EF=1時(shí),S有最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B.4
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請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列各題:

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