Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），可設(shè)拋物線解析式的交點(diǎn)式，再把C（0，-2）代入即可；
（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與其相似，由于點(diǎn)P可能在x軸的上方，或者下方，分三種情況，分別用相似比解答；
（3）過D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個(gè)三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運(yùn)用代數(shù)式的變形求最大值．

解答：解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，-2），
設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，
得

16a+4b-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴此拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）存在．
如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-

1

2

m2+

5

2

m-2，
當(dāng)1＜m＜4時(shí)，
AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當(dāng)

PM

AM

=

OA

OC

=2時(shí)，△APM∽△ACO，
∴

|4-x|

|y|

=2，即|4-m|=2（-

1

2

m2+

5

2

m-2），
∴4-m=m²+5m-4，
∴m²-6m+8=0，
∴（m-2）（m-4）=0，
解得：m₁=2，m₂=4（舍去）
∴P（2，1）
②當(dāng)

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

，△APM∽△CAO，
那么有：2|4-m|=-

1

2

m2+

5

2

m-2，
∴2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
∴m²-9m+20=0，
∴（m-4）（m-5）=0，
解得：m₁=4（舍去），m₂=5（舍去），
∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P（2，1），
類似地可求出當(dāng)m＞4時(shí)，P（5，-2），
當(dāng)m＜1時(shí)，P（-3，-14），
當(dāng)P，C重合時(shí)，△APM≌△ACO，P（0，-2）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）或（0，-2）；

（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-

1

2

t²+

5

2

t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為y=

1

2

x-2．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，

1

2

t-2）．
∴DE=-

1

2

t²+

5

2

t-2-（

1

2

t-2）=-

1

2

t²+2t．
∴S_△DAC=

1

2

×（-

1

2

t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了拋物線解析式的求法，拋物線與相似三角形的問題，坐標(biāo)系里表示三角形的面積及其最大值問題，要求會用字母代替長度，坐標(biāo)，會對代數(shù)式進(jìn)行合理變形．