Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，△BCD為等邊三角形，點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M，作EN∥AC，交直線AB于點(diǎn)N，則的最大值為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

作輔助線，構(gòu)建30度的直角三角形將轉(zhuǎn)化為NH，將，即：過A點(diǎn)作AM∥BC，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，由△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)到直線AP的最大值時(shí)E在D點(diǎn)時(shí)，通過直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出DH’即可得到結(jié)論．

解：過A點(diǎn)作AP∥BC，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，

四邊形是平行四邊形，

設(shè)，，

∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，

∴∠CAM=90°，∠NAH=30°，

中，，

∵NE∥AC，NH∥AC，

∴E、N、H在同一直線上，

，

由圖可知：△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點(diǎn)到直線AM距離最大的點(diǎn)在D點(diǎn)，

過D點(diǎn)作，垂足為.

當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，=取最大值.

∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，，

∴AC=3，AB=，四邊形ACGH’是矩形，

∴，

∵△BCD為等邊三角形，，

∴=,

∴，

∴的最大值為，

故答案為：．