Question

（2012•黃石）如圖1所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延長線于B₁．
（1）請你探究：

AC

AB

=

CD

DB

，

AC1

AB1

=

C1D

DB1

是否都成立？
（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問

AC

AB

=

CD

DB

一定成立嗎？并證明你的判斷．
（3）如圖2所示Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=8，AB=

40

3

，E為AB上一點且AE=5，CE交其內(nèi)角角平分線AD于F．試求

DF

FA

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，則DB=CD，易得

AC

AB

=

CD

DB

；由于∠C₁AB₁=60°，得∠B₁=30°，則AB₁=2AC₁，同理可得到DB₁=2DC₁，易得

AC1

AB 1

=

C1D

DB1

；
（2）過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠E=∠CAD=∠BAD，則BE=AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到

AC

BE

=

CD

DB

，而BE=AB，于是有

AC

AB

=

CD

DB

，這實際是三角形的角平分線定理；
（3）AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，由（2）的結(jié)論得到

CD

DB

=

AC

AB

=

8

40 3

=

3

5

，

EF

FC

=

AE

AC

=

5

8

，又

AE

EB

=

5

40 3 -5

=

3

5

，則有

CD

DB

=

AE

EB

，得到DE∥AC，根據(jù)相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
∴

DF

AF

=

EF

CF

=

5

8

．

解答：解：（1）兩個等式都成立．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴

AC

AB

=

CD

DB

；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴

AC1

AB 1

=

C1D

DB1

；

（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：
如右圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴

AC

EB

=

CD

BD

而BE=AB，
∴

AC

AB

=

CD

DB

；

（3）如圖，連DE，
∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線
∴

CD

DB

=

AC

AB

=

8

40 3

=

3

5

，

EF

FC

=

AE

AC

=

5

8

，
又∵

AE

EB

=

5

40 3 -5

=

3

5

，
∴

CD

DB

=

AE

EB

，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

DF

AF

=

EF

CF

=

5

8

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線被其它兩邊所截，所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及角平分線的性質(zhì)．