Question

我們所學(xué)的幾何知識(shí)可以理解為對(duì)“構(gòu)圖”的研究：根據(jù)給定的（或構(gòu)造的）幾何圖形提出相關(guān)的概念和問(wèn)題（或者根據(jù)問(wèn)題構(gòu)造圖形），并加以研究．
例如：在平面上根據(jù)兩條直線的各種構(gòu)圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質(zhì)”等問(wèn)題（包括研究的思想和方法）．
請(qǐng)你用上面的思想和方法對(duì)下面關(guān)于圓的問(wèn)題進(jìn)行研究：
（1）如圖1，在圓O所在平面上，放置一條直線m（m和圓O分別交于點(diǎn)A、B），根據(jù)這個(gè)圖形可以提出的概念或問(wèn)題有哪些？（直接寫(xiě)出兩個(gè)即可）
（2）如圖2，在圓O所在平面上，請(qǐng)你放置與圓O都相交且不同時(shí)經(jīng)過(guò)圓心的兩條直線m和n（m與圓O分別交于點(diǎn)A、B，n與圓O分別交于點(diǎn)C、D）．請(qǐng)你根據(jù)所構(gòu)造的圖形提出一個(gè)結(jié)論，并證明之；
（3）如圖3，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是

ABC

的中點(diǎn)，弦DE⊥AB于點(diǎn)F．請(qǐng)找出點(diǎn)C和點(diǎn)E重合的條件，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）本題AB⊥DE，滿足垂徑定理，可以寫(xiě)出垂徑定理的結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形相似就可以證出；
（3）若點(diǎn)C和點(diǎn)E重合，設(shè)∠BAC=x，又D是

ABC

的中點(diǎn)，根據(jù)2∠CAD=∠CAD+ACD=180°-∠ABC，就可以求出∠BAC的度數(shù)．

解答：解：（1）弦（圖中線段AB）、�。▓D中的ACB�。�、弓形、求弓形的面積（因?yàn)槭欠忾]圖形）等．
（寫(xiě)對(duì)一個(gè)給（1分），寫(xiě)對(duì)兩個(gè)給2分）

（2）如圖，AB為弦，CD為弦，且AB與CD在圓內(nèi)相交于點(diǎn)P．
結(jié)論：PA•PB=PC•PD．
證明：連接AD，BC，
∵∠APD=∠BPC，∠D=∠B
∴△APD∽△BPC
∴PA•PB=PC•PD；

（3）若點(diǎn)C和點(diǎn)E重合，
則由圓的對(duì)稱性，知點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于直徑AB對(duì)稱，（8分）
設(shè)∠BAC=x，則∠BAD=x，∠ABC=90°-x，（9分）
又D是

ABC

的中點(diǎn)，所以2∠CAD=∠CAD+∠ACD=180°-∠ABC，
即2•2x=180°-（90°-x），（10分）
解得x=∠BAC=30°．（11分）
（若求得AB=

3

2

AC或AF=3•FB等也可，評(píng)分可參照上面的標(biāo)準(zhǔn)；也可以先直覺(jué)猜測(cè)點(diǎn)B、C是圓的十二等分點(diǎn)，然后說(shuō)明．）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理以及相交弦定理的證明過(guò)程，正確理解題意，讀懂圖意是解決本題的關(guān)鍵．