(2012•蒼梧縣二模)如圖,已知CD是⊙O的直徑,AC⊥CD,垂足為C,弦DE∥OA,直線AE,CD相交于點(diǎn)B.
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)如果AC=1,BE=2,求
OCAC
的值.
分析:(1)連接OE,由已知的平行,根據(jù)兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角也相等得到兩對角的相等,然后由半徑OD=OE,根據(jù)等角對等邊得到∠ODE=∠OED,等量代換得∠COA=∠EOA,再由半徑OC=OE,公共邊的相等,根據(jù)“SAS”證明△OAC≌△OAE,最后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到OE⊥AB,利用經(jīng)過直徑的一端,并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線可得證;
(2)由(1)證得的△OAC≌△OAE,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=AC=1,再由已知的BE的長相加求出AB的長,然后在直角三角形ABC中,利用勾股定理求出BC的長,再根據(jù)一對公共角的相等和一對直角的相等,得到△BOE∽△BAC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到
OE
AC
的值,等量代換可得
OC
AC
的值.
解答:(1)證明:如圖,連接OE,
∵DE∥OA,
∴∠COA=∠ODE,∠EOA=∠OED,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠COA=∠EOA,
又∵OC=OE,OA=OA,
∴△OAC≌△OAE,
∴∠OEA=∠OCA=90°,
∴OE⊥AB,
∴直線AB是⊙O的切線;

(2)解:由(1)知△OAC≌△OAE,
∴AE=AC=1,AB=1+2=3,在直角△ABC中,BC=
AB2-AC2
=
32-12
=2
2
,
∵∠B=∠B,∠BCA=∠BEO,
∴△BOE∽△BAC,
OE
AC
=
BE
BC
=
2
2
2
=
2
2
,
∴在直角△AOC中,tan∠OAC=
OC
AC
=
OE
AC
=
2
2

OC
AC
=
2
2
點(diǎn)評:此題考查了切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用,以及銳角三角函數(shù)的定義,是一道多知識的綜合題,要求學(xué)生把所學(xué)的知識融匯貫穿,靈活運(yùn)用.其中證明切線的方法一般有以下兩種:①有點(diǎn)連接證明半徑(或直徑)與所證的直線垂直;②無點(diǎn)作垂線,證明圓心到直線的距離等于半徑.
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