(2013•石景山區(qū)二模)如圖,拋物線y=-x2+ax+b過點A(-1,0),B(3,0),其對稱軸與x軸的交點為C,反比例函數(shù)y=
kx
(x>0,k是常數(shù))的圖象經(jīng)過拋物線的頂點D.
(1)求拋物線和反比例函數(shù)的解析式.
(2)在線段DC上任取一點E,過點E作x軸平行線,交y軸于點F、交雙曲線于點G,聯(lián)結(jié)DF、DG、FC、GC.
①若△DFG的面積為4,求點G的坐標;
②判斷直線FC和DG的位置關系,請說明理由;
③當DF=GC時,求直線DG的函數(shù)解析式.
分析:(1)將A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值,確定出拋物線解析式,以及頂點D坐標,將D坐標代入反比例解析式求出k的值,即可確定出反比例解析式;
(2)①設點G的坐標為(m,
4
m
),根據(jù)圖形表示出E與F坐標,進而表示出FG與DE的長,根據(jù)三角形DFG面積為4列出關于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可確定出G坐標;
②直線FC和DG的位置關系為平行,理由為:由C的坐標確定出OC的長,進而表示出EC,EG,DE,根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形DEG與三角形FEG相似,由相似三角形的對應角相等得到一對內(nèi)錯角相等,利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證;
③由FC與DG平行,當FD=CG時,有兩種情況:(i)當FD∥CG時,四邊形DFCG是平行四邊形,由上題的比例式及平行四邊形的對角線互相平分得到m-1=1,求出m的值,確定出G坐標,設直線DG解析式為y=kx+b,將D與G坐標代入求出k與b的值,求出此時直線DG解析式;(ii)當FD與CG所在直線不平行時,四邊形ADCB是等腰梯形,則DC=FG,求出此時m的值,確定出G坐標,設直線DG解析式為y=mx+n,將D與G坐標代入求出m與n的值,求出此時直線DG解析式,綜上,得到滿足題意直線DG的解析式.
解答:解:(1)∵拋物線y=-x2+ax+b過點A(-1,0),B(3,0),
-1-a+b=0
-9a+3a+b=0
,
解得:
a=2
b=3

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,頂點D(1,4),
∵函數(shù)y=
k
x
(x>0,m是常數(shù))圖象經(jīng)過D(1,4),
∴k=4,
則反比例解析式為y=
4
x

(2)①設G點的坐標為(m,
4
m
),
據(jù)題意,可得E點的坐標為(1,
4
m
),F(xiàn)點的坐標為(0,
4
m
),
∵m>1,
∴FG=m,DE=4-
4
m
,
由△DFG的面積為4,即
1
2
m(4-
4
m
)=4,得m=3,
∴點G的坐標為(3,
4
3
);
②直線FC和DG平行.理由如下:
據(jù)題意,點C的坐標為(1,0),F(xiàn)E=1,
∵m>1,易得EC=
4
m
,EG=m-1,DE=4-
4
m
,
GE
EF
=
m-1
1
=m-1,
DE
CE
=
4-
4
m
4
m
=m-1,
GE
EF
=
DE
CE

∵∠DEG=∠FEC,
∴△DEG∽△FEC,
∴∠EDG=∠ECF,
∴FC∥DG;
③∵FC∥DG,
∴當FD=CG時,有兩種情況:
(i)當FD∥CG時,四邊形DFCG是平行四邊形,
由上題得
GE
EF
=
DE
CE
=m-1,
∴m-1=1,即m=2,
∴點G的坐標是(2,2),
設直線DG的函數(shù)解析式為y=kx+b,把點D,G的坐標代入,得
4=k+b
2=2k+b

解得:
k=-2
b=6.
,
∴直線DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6;
(ii)當FD與CG所在直線不平行時,四邊形ADCB是等腰梯形,則DC=FG,
∴m=4,
∴點G的坐標是(4,1),
設直線DG的函數(shù)解析式為y=mx+n,
把點D,G的坐標代入,得
4=m+n
1=4m+n
,
解得:
m=-1
n=5
,
∴直線DG的函數(shù)解析式是y=-x+5,
綜上所述,所求直線DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5.
點評:此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,坐標與圖形性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形及梯形的性質(zhì),熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵.
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