如圖所示,已知拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),且經過直線y=x-3與坐標軸的兩個交點B、C.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若點M在第四象限內且在拋物線上,有OM⊥BC,垂足為D,求點M的坐標.
分析:(1)根據(jù)直線y=x-3求出其與x軸、y軸的交點A、B的坐標,利用三點坐標,結合待定系數(shù)法,即可求出拋物線解析式;
(2)根據(jù)直線OD和BC垂直時比例系數(shù)互為相反數(shù),得到OD的比例系數(shù),又直線OD過原點,可知其為正比例函數(shù),即可得到OD的解析式,然后將直線和拋物線組成方程組,即可解出M的坐標.
解答:解:(1)∵y=x-3與x軸的交點B的坐標為(3,0),與y軸的交點C的坐標為(0,-3),A點坐標為(-1,0),
∴設二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)(x-3),
將C(0,-3)代入解析式得,
-3=a×1×(-3),
解得,a=1,
則二次函數(shù)解析式為y=(x+1)(x-3),
即y=x2-2x-3,
(2)∵OD過原點,
∴設OD的解析式為y=kx,
∵OM⊥BC,BC解析式為y=x-3,
∴kOD=-1,
則OD的解析式為y=-x,
將y=x2-2x-3和y=-x組成方程組得
y=-x
y=x2-2x-3
,
整理得,x2-x-3=0,
解得,x1=
1+
13
2
,x2=
1-
13
2
(不合題意,舍去),
把x1=
1+
13
2
代入y=-x得,
y1=-
1+
13
2
,
∴M點坐標為(
1+
13
2
,-
1+
13
2
).
點評:本題考查了二次函數(shù)的相關問題,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,拋物線、直線與x軸的交點問題、垂直直線的系數(shù)的關系,難度較大,要仔細審題.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C.
(1)求A、B、C三點的坐標;
(2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作MG⊥x軸于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出M點的坐標;否則,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于A,B兩點,C為拋物線的頂點,過點A作AP∥精英家教網BC交拋物線于點P.
(1)求A,B,C三點坐標;
(2)求四邊形ACBP的面積;
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點M,過點M作ME⊥x軸于點E,使A,M,E三點為頂點的三角形與△PCA相似?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過原點和點(-2,0),則2a-3b
 
0.(>、<或=)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0),拋物線的對稱軸x=2交x軸于點E.
(1)求交點A的坐標及拋物線的函數(shù)關系式;
(2)在平面直角坐標系xOy中是否存在點P,使點P與A,B,C三點構成一個平行四邊形?若存在,請直接寫出點P坐標;若不存在,請說明理由;
(3)連接CB交拋物線對稱軸于點D,在拋物線上是否存在一點Q,使得直線CQ把四邊形DEOC分成面積比為1:7的兩部分?若存在,請求出點Q坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•衡陽)如圖所示,已知拋物線的頂點為坐標原點O,矩形ABCD的頂點A,D在拋物線上,且AD平行x軸,交y軸于點F,AB的中點E在x軸上,B點的坐標為(2,1),點P(a,b)在拋物線上運動.(點P異于點O)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)過點P作CB所在直線的垂線,垂足為點R,
①求證:PF=PR;
②是否存在點P,使得△PFR為等邊三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
③延長PF交拋物線于另一點Q,過Q作BC所在直線的垂線,垂足為S,試判斷△RSF的形狀.

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