Question

如圖1，直線(xiàn)y=x與雙曲線(xiàn)y=

k

x

（k＞0，x＞0）交于點(diǎn)P，PA⊥x軸于A，S_△PAO=

9

2

．
（1）求k的值．
（2）如圖2，點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥PF，求OF-OE的值．
（3）如圖3，將點(diǎn)A向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)M，問(wèn)：雙曲線(xiàn)y=

k

x

（x＞0）上是否存在點(diǎn)Q，使S_△QPO=S_△MPO？若存在，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由P為y=x與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，得到P在y=x上，故設(shè)P（a，a），且a大于0，可得出AP=OA=a，由三角形AOP為直角三角形，且面積已知，利用三角形的面積公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，即可求出k的值；
（2）根據(jù)題意過(guò)P作PF垂直于PE，交x軸于點(diǎn)F，過(guò)P作PB垂直于y軸于點(diǎn)B，先由一對(duì)對(duì)頂角相等及一對(duì)直角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理得出∠BEP=∠AFP，再由一對(duì)直角相等，以及BP=OA=AP，利用AAS可得出三角形BEP與三角形AFP全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BE=AF，由OF=OA+AF，將AF等量代換為BE，而B(niǎo)E=OB+OE，由OB=PA=OA=3，將OB換為OA，可得出OF-OE=2OA=6；
（3）存在點(diǎn)Q，使S_△QPO=S_△MPO，理由為：假如Q存在，在反比例函數(shù)圖象上找一點(diǎn)Q，連接OQ，PQ，過(guò)Q作QC⊥x軸于C點(diǎn)，由A的坐標(biāo)及平移的規(guī)律找出M的坐標(biāo)，在x軸上作出M點(diǎn)，連接PM，三角形POM以O(shè)M為底邊，AP為高，利用三角形的面積公式求出三角形POM的面積，可得出三角形QPO的面積，由Q在反比例函數(shù)圖象上，設(shè)出Q的坐標(biāo)為Q（m，

9

m

）（m＞0），可表示出QC與OC，而三角形QOP的面積=三角形AOP的面積+直角梯形APQC的面積-三角形OQC的面積，而三角形AOP的面積與三角形QOC的面積相等，故三角形QOP的面積=直角梯形APQC的面積，利用梯形的面積公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由點(diǎn)P為y=x與反比例函數(shù)y=

k

x

的交點(diǎn)，設(shè)P（a，a）（a＞0），
可得出PA=OA=a，又S_△PAO=

9

2

，
∴

1

2

OA•PA=

1

2

a²=

9

2

，
解得：a=3或a=-3（舍去），
∴P（3，3），
將x=3，y=3代入反比例函數(shù)解析式得：3=

k

3

，
則k=3×3=9；

（2）過(guò)P作PF⊥PE，交x軸于點(diǎn)F，過(guò)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，
∵∠ODE=∠PDF，∠EOD=∠EPF=90°，
∴∠BEP=∠AFP，
又BP=OA，PA=OA=3，
∴BP=AP，
在△BEP和△AFP中，

∠EBP=∠FAP=90° ∠BEP=∠AFP BP=AP

，
∴△BEP≌△AFP（AAS），
∴BE=AF，又OA=PA=OB=3，
則OF-OE=OA+AF-OE=OA+BE-OE=OA+BO+OE-OE=OA+OB=2OA=6；

（3）存在點(diǎn)Q，使S_△QPO=S_△MPO，理由為：
假如Q存在，在反比例函數(shù)圖象上找一點(diǎn)Q，連接OQ，PQ，過(guò)Q作QC⊥x軸于C點(diǎn)，
將A點(diǎn)沿x軸向右平移5個(gè)單位，得到M（8，0），連接PM，
∴OM=8，又PA=3，
∴S_△MPO=

1

2

OM•PA=12，
又S_△QPO=S_△MPO，
∴S_△QPO=12，
設(shè)Q（m，

9

m

）（m＞0），則有OC=m，QC=

9

m

，
又PA=OA=3，故AC=|m-3|，
∴S_△QPO=S_△PAO+S_梯形APQC-S_△QCO=

9

2

+

1

2

（

9

m

+3）|m-3|-

9

2

=12，
整理得：（m-9）（m+1）=0或者（m+9）（m-1）=0，
解得：m=9或m=-1（舍去），或者m=1或m=-9（舍去），
∴Q（9，1）或（1，9）．
則存在點(diǎn)Q，使S_△QPO=S_△MPO，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，1）或（1，9）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式中k的意義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，根據(jù)題意做出相應(yīng)的圖形是本題的突破點(diǎn)．