【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸,y軸分別相交于點(diǎn)B,C,經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱軸是直線x=2.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)請(qǐng)問在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B,C,Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)過S(0,4)的動(dòng)直線l交拋物線于M,N兩點(diǎn),試問拋物線上是否存在定點(diǎn)T,使得不過定點(diǎn)T的任意直線l都有∠MTN=90°?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)存在;(3)存在點(diǎn)T(4,3)使得不過定點(diǎn)T的任意直線l都有∠MTN=90°.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求,,再根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)存在,分三種情況:過B點(diǎn)垂直BC的直線的解析式為y=x+b,過C點(diǎn)垂直BC的直線解析式為y=x+3,以BC為斜邊,進(jìn)行討論可求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)M(x1,y1), N(x2,y2), T(a,b),過T作PQ∥x軸,過M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,可證△MPT∽TQN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解.
解:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸,y軸分別相交于點(diǎn)B,C,
∴B(3,0),C(0,3),
∵對(duì)稱軸為直線x=2,
∴設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x﹣1)(x﹣3),
把C(0,3)代入得3a=3,解得a=1,
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;
(2)存在,設(shè)過B點(diǎn)垂直BC的直線的解析式為y=x+b,
把B(3,0)代入得b=﹣3,
則直線的解析式為y=x﹣3,
依題意有,
解得,,
∴Q1(2,﹣1),
過C點(diǎn)垂直BC的直線解析式為y=x+3,
依題意有,
解得,,
∴Q2(5,8),
以BC為斜邊,設(shè)β(a,a2﹣4a+3),則
a2+(a2﹣4a)2+(a﹣3)2+(a2﹣4a+3)2=18,
a3﹣8a2+20a﹣15=0,
(a﹣3)(a2﹣5a+5)=0,
解得a1=3,a2=,
∴Q3(,),Q4(,),
∴存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)B,C,Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形;
(3)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),T(a,b),
過T作PQ∥x軸,過M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,則∠MTN=90°,
則△MPT∽△TQN,
∴,
a(x1+x2)﹣a2﹣x1x2=y1y2﹣b(y1+y2)+b2,
其中x1,x2,y1,y2是的解,
∴x2﹣(4+k)x﹣1=0,
x1x2=﹣1,
x1+x2=k+4,
y1y2=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=﹣k2+4k(k+4)+16,
y1+y2=k(k+4)+8,
1+a(k+4)﹣a2=﹣k2+4k(k+4)+16﹣b(k2+4k+8)+b2,
1+ak+4a﹣a2=﹣k3+4k2+16k+16﹣bk2﹣4bk﹣8b+b2,
∴(3﹣b)k2+(16﹣4b﹣a)k+a2﹣4a﹣8b+b2+15=0,
∵y=kx+b有無數(shù)條,
∴k為任何實(shí)數(shù),3﹣b=0,16﹣4b﹣a=0,a2﹣4a﹣8b+b2+15=0,
解得a=4,b=3,
存在點(diǎn)T(4,3)使得不過定點(diǎn)T的任意直線l都有∠MTN=90°.
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【題目】為準(zhǔn)備母親節(jié)禮物,同學(xué)們委托小明用其支付寶余額團(tuán)購鮮花或禮盒.每束鮮花的售價(jià)相同,每份禮盒的售價(jià)也相同.若團(tuán)購15束鮮花和18份禮盒,余額差80元;若團(tuán)購18束鮮花和15份禮盒,余額剩70元.若團(tuán)購19束鮮花和14份禮盒,則支付寶余額剩_______元.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,AD的中點(diǎn),
且∠ABM=∠BAM,連接BM,MN,BN.
(1)求證:BM=MN;
(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長(zhǎng).
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【題目】平行四邊形ABCD中,E,F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn), 如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF,則添加的條件不能是( 。
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
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【題目】如圖,,點(diǎn)是直線,之間的一點(diǎn),連接、.
(1)問題發(fā)現(xiàn):
①若,,則 .
②猜想圖中、、的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)拓展應(yīng)用:
如圖,,線段把這個(gè)封閉區(qū)域分為、兩部分(不含邊界),點(diǎn)是位于這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)(不在邊界上),請(qǐng)直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】在中,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),,垂足為,連接.
(1)如圖1,與的數(shù)量關(guān)系是__________.
(2)如圖2,若是線段上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合),連接,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接,請(qǐng)猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
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【題目】如圖,是正三角形內(nèi)的一點(diǎn),且.若將 繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得到,則點(diǎn)與點(diǎn) 之間的距離為_____________________.
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【題目】如圖,在平行四邊形中,,,點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn).連接、,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),連接.則的最大值與最小值的差為( )
A.2B.C.D.
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【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,P為BC上一點(diǎn),D為AC上一點(diǎn),且∠APD=60°,BP=1,CD=,則△ABC的邊長(zhǎng)為____.
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