【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(﹣3,0)和點B(2,0),直線y=h(h為常數(shù),且0<h<6)與BC交于點D,與y軸交于點E,與AC交于點F.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連接AE,求h為何值時,△AEF的面積最大.
(3)已知一定點M(﹣2,0),問:是否存在這樣的直線y=h,使△BDM是等腰三角形?若存在,請求出h的值和點D的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+6;(2)當h=3時,△AEF的面積最大,最大面積是 .(3)存在,當h=時,點D的坐標為(,);當h=時,點D的坐標為(,).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題.
(2)由題意可得點E的坐標為(0,h),點F的坐標為( ,h),根據(jù)S△AEF=OEFE=h=﹣(h﹣3)2+.利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
(3)存在.分兩種情形情形,分別列出方程即可解決問題.
解:如圖:
(1)∵拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(﹣3,0)和點B(2,0),
∴,
解得:.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+6.
(2)∵把x=0代入y=﹣x2﹣x+6,得y=6,
∴點C的坐標為(0,6),
設(shè)經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為y=mx+n,則,
解得 ,
∴經(jīng)過點A和點C的直線的解析式為:y=2x+6,
∵點E在直線y=h上,
∴點E的坐標為(0,h),
∴OE=h,
∵點F在直線y=h/span>上,
∴點F的縱坐標為h,
把y=h代入y=2x+6,得h=2x+6,
解得x=,
∴點F的坐標為( ,h),
∴EF=.
∴S△AEF=OEFE=h=﹣(h﹣3)2+,
∵﹣<0且0<h<6,
∴當h=3時,△AEF的面積最大,最大面積是 .
(3)存在符合題意的直線y=h.
∵B(2,0),C(0,6),
∴直線BC的解析式為y=﹣3x+6,設(shè)D(m,﹣3m+6).
①當BM=BD時,(m﹣2)2+(﹣3m+6)2=42,
解得m=或(舍棄),
∴D(,),此時h=.
②當MD=BM時,(m+2)2+(﹣3m+6)2=42,
解得m=或2(舍棄),
∴D(,),此時h=.
∵綜上所述,存在這樣的直線y=或y=,使△BDM是等腰三角形,當h=時,點D的坐標為(,);當h=時,點D的坐標為(,).
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【題目】已知:O上兩個定點A,B和兩個動點C,D,AC與BD交于點E.
(1)如圖1,求證:EAEC=EBED;
(2)如圖2,若AB=BC,AD是O的直徑,求證:ADAC=2BDBC;
(3) 如圖3,若AC⊥BD,點O到AD的距離為2,求BC的長.
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【題目】(1)如圖1,∠A=60°,AC=1,AB=2求BC的長;
(2)如圖2,在△ABC中,試證明:BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.
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【題目】某旅客攜帶xkg的行李乘飛機,登機前,旅客可選擇托運或快遞行李,托運費y1(元)與行李重量xkg的對應關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定,下表列出了快遞費y2(元)與行李重量xkg的對應關(guān)系.
行李的重量xkg | 快遞費 |
不超過1kg | 10元 |
超過1kg但不超過5kg的部分 | 3元/kg |
超過5kg但不超過15kg的部分 | 5元/kg |
(1)如果旅客選擇單托運,求可攜帶的免費行李的最大重量為多少kg?
(2)如果旅客選擇快遞,當1<x≤15時,直接寫出快遞費y2(元)與行李的重量xkg之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)某旅客攜帶25kg的行李,設(shè)托運mkg行李(10≤m<24,m為正整數(shù)),剩下的行李選擇快遞,當m為何值時,總費用y的值最。坎⑶蟪銎渥钚≈凳嵌嗌僭?
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,其對稱軸x=﹣1,給出下列結(jié)果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正確結(jié)論的序號是_____.
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【題目】小明同學在學習與圓有關(guān)的角時了解到:在同圓或等圓中,同。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等.如圖,點A、B、C、D均為⊙O上的點,則有∠C=∠D.
小明還發(fā)現(xiàn),若點E在⊙O外,且與點D在直線AB同側(cè),則有∠D >∠E. 請你參考小明得出的結(jié)論,解答下列問題:
(1)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(0,7),點B的坐標為(0,3),點C的坐標為(3,0) .①在圖1中作出△ABC的外接圓(保留必要的作圖痕跡,不寫作法);
②若在軸的正半軸上有一點D,且∠ACB =∠ADB,則點D的坐標為________;
(2) 如圖2,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(0,m),點B的坐標為(0,n),其中m>n>0.點P為軸正半軸上的一個動點,當∠APB達到最大時,直接寫出此時點P的坐標.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點O作OD⊥AB,交BC的延長線于D,交AC于點E,F是DE的中點,連接CF.
(1)求證:CF是⊙O的切線.
(2)若∠A=22.5°,求證:AC=DC.
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【題目】如圖,已知O是Rt△ABC的外接圓,點D是O上的一個動點,且C,D位于AB的兩側(cè),聯(lián)結(jié)AD,BD,過點C作CE⊥BD,垂足為E。延長CE交O于點F,CA,FD的延長線交于點P。
求證:(1)弧AF=弧DC;
(2)△PAD是等腰三角形.
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【題目】某校為研究學生的課余愛好情況,采取抽樣調(diào)查的方法,從閱讀、運動、娛樂、上網(wǎng)等四個方面調(diào)查了若干學生的興趣愛好,并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次研究中,一共調(diào)查了 名學生;若該校共有名學生,估計全校愛好運動的學生共有 名;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,并計算閱讀部分圓心角是 ;
(3)在全校同學中隨機選出一名學生參加演講比賽,用頻率估計概率,則選出的恰好是愛好閱讀的學生概率是 .
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