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已知a是一元二次方程x2-4x+1=0的兩個實數根中較小的根,
①不解方程,求a+
1
a
的值;
②根據①的結果,求
a
-
1
a
的值;
③先化簡,再求值
1-2a+a2
a-1
-
a2-2a+1
a2-a
-
1
a
分析:(1)a是一元二次方程x2-4x+1=0的兩個實數根中較小的根,則把x=a代入方程可以得到a2+1=4a,則所求的代數式即可化簡;
(2)首先求得
a
-
1
a
的平方的值,然后確定a的范圍,則
a
-
1
a
的值即可確定;
(3)首先對分式以及二次根式進行化簡,然后進行分式的加減即可求解.
解答:解:(1)∵a是一元二次方程x2-4x+1=0的兩個實數根中較小的根,
∴a2-4a+1=0,
即a2+1=4a,
則a+
1
a
=
a2+1
a
=
4a
a
=4;

(2)(
a
-
1
a
2=a+
1
a
-2=4-2=2.
∵一元二次方程x2-4x+1=0的兩個根的和是4,兩根的積是1,
則0<a<1,
a
-
1
a
=-
2
;

(3)解方程x2-4x+1=0,得:x=2±
3
,則a=2-
3
,
∴a-1<0
∴原式=
(1-a)2
a-1
-
(a-1)2
a(a-1)
-
1
a

=a-1+
1
a
-
1
a

=a-1=1-
3
點評:此題主要考查的是二次根式的性質:以及一元二次方程的根與系數的關系,正確確定a的范圍是關鍵.
練習冊系列答案
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,這個方程的另一根為
 

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x-3
3x2-6x
÷(x+2-
5
x-2
)
的值為
 

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a2-2a+1
-
1
a

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