Question

【題目】已知二次函數(shù) ．
（1）求證：不論k為任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)A（1，0）的兩側(cè)，且關(guān)于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的整數(shù)值；
（3）在（2）的條件下，關(guān)于x的另一方程x2+2（a+k）x+2a﹣k2+6k﹣4=0 有大于0且小于3的實(shí)數(shù)根，求a的整數(shù)值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：x2+kx+ k﹣ =0，

△1=b2﹣4ac=k2﹣4（ k﹣ ）

=k2﹣2k+14

=k2﹣2k+1+13

=（k﹣1）2+13＞0，

∴不論k為任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)

（2）

解：∵二次函數(shù)y=x2+kx+ k﹣ 的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）的兩側(cè)，且二次函數(shù)開口向上，

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y＜0，

即1+k+ k﹣ ＜0，

解得：k＜ ，

∵關(guān)于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴k≠0且△2=b2﹣4ac=（2k+3）2﹣4k2=4k2+12k+9﹣4k2=12k+9＞0，

∴k＞﹣ 且k≠0，

∴﹣ ＜k＜ 且k≠0，

∴k=1

（3）

解：由（2）可知：k=1，

∴x2+2（a+1）x+2a+1=0，

解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，

根據(jù)題意，0＜﹣2a﹣1＜3，

∴﹣2＜a＜﹣ ，

∴a的整數(shù)值為﹣1

【解析】（1）表示出方程：x2+kx+ k﹣ =0的判別式，即可得出結(jié)論；（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)A（1，0）的兩側(cè)，則可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值y＜0，再由關(guān)于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得出k的取值范圍，從而得出k的整數(shù)值；（3）將求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根據(jù)方程有大于0且小于3的實(shí)數(shù)根，可得出a的取值范圍，繼而得出a的整數(shù)值．