Question

【題目】如圖，在平面坐標(biāo)系中，ΔABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-8，-3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，-5），AC交x軸于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)C和D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)ΔAMB的周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）C（2，3），D（-3，0）；（2）M（-5，0）.

【解析】

（1）分別作AF⊥y軸，CE⊥y軸，垂足為F,E，證明△AFB≌△CEB，得BE=AF=8，CE=BF=2，又OB=5，從而可得點(diǎn)C 的坐標(biāo)，設(shè)AC的直線解析式為y=kx+b，把A，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線解析式，求出k和b的值，令y=0，求出x的值即可；

（2）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A‘，連接A’B交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)ΔAMB的周長最小，設(shè)直線A’B的解析式為y=ax+b，把A’，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，求出其解析式，令y=0，求出x的值即可.

（1）分別作AF⊥y軸，CE⊥y軸，垂足為F，E，

∴∠AFB=∠BEC=90°，

∴∠BAF+∠ABF=90°, ∠CBE+∠BCE=90°，

∵∠ABF+∠CBE=∠ABC=90°

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，

∴△ABF≌△BCE，

∴BE=AF，CE=BF

∵A（-8，-3），B（0，-5），

∴AF=8，OF=3，OB=5，

∴OE=3,CE=2，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）;

設(shè)直線AC的關(guān)系式為y=kx+b，把A（-8，-3），C（2，3）分別代入得，

，

解得，，

所以，直線AC的解析式為：，

令y=0，則有，解得，x=-3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）；

（2）如圖，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A‘，連接A’B交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)ΔAMB的周長最小，

設(shè)直線A’B的解析式為y=ax+b，把A’（-8，3），B(0,-5)分別代入解析式得，

，

解得，

所以，直線A’B的解析式為：y=-x-5，

令y=0，則x=-5，

所以，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）.