Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)指出符合條件的點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用配方法直接求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)相似三角形的判定方法分別得出即可．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），可知c=-3．
即拋物線的解析式為y=ax²+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0① 9a+3b-3=0②

①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0，即12a=12，
解得a=1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3
=（x²-2x+1）-4，
=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）；

（3）連接AC，
易得：CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

，
∴CD²+DB²=BC²，
可知Rt△COA∽R(shí)t△BCD，得符合條件的點(diǎn)為O（0，0）
過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，可知Rt△CAP₁∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCD，
求得符合條件的點(diǎn)為P1(0，

1

3

)．
過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，可知Rt△P₂CA∽R(shí)t△COA∽R(shí)t△BCD，
求得符合條件的點(diǎn)為P₂（9，0）．
∴符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：（0，0），P1(0，

1

3

)，P₂（9，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定等知識(shí)，相似三角形與二次函數(shù)經(jīng)常結(jié)合出綜合題目，所以同學(xué)們學(xué)要對(duì)這些知識(shí)熟練地掌握才能正確的解答．