觀察下列各式及其驗證過程:
驗證:2
2
3
=
2+
2
3
;
驗證:2
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3
;
驗證:3
3
8
=
3+
3
8
;
驗證:3
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

(1)按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路,猜想4
4
15
的變形結果并進行驗證;
(2)針對上述各式反映的規(guī)律,寫出用n(n為任意自然數(shù),且n≥2)表示的等式,并給出證明.
分析:(1)通過觀察,不難發(fā)現(xiàn):等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)a=
a2
(a≥0),把根號外的移到根號內(nèi);再根據(jù)“同分母的分式相加,分母不變,分子相加”這一法則的倒用來進行拆分,同時要注意因式分解進行約分,最后結果中的被開方數(shù)是兩個數(shù)相加,兩個加數(shù)分別是左邊根號外的和根號內(nèi)的;
(2)根據(jù)上述變形過程的規(guī)律,即可推廣到一般.表示左邊的式子時,注意根號外的和根號內(nèi)的分子、分母之間的關系:根號外的和根號內(nèi)的分子相同,根號內(nèi)的分子是分母的平方減去1.
解答:解:(1)4
4
15
=
4+
4
15
.驗證如下:
左邊=
42×4
15
=
43-4+4
42-1
=
4(42-1)+4
42-1
=
4+
4
15
=右邊,
故猜想正確;

(2)n
n
n2-1
=
n+
n
n2-1
.證明如下:
左邊=
n2×n
n2-1
=
n3-n+n
n2-1
=
n(n2-1)+n
n2-1
=
n+
n
n2-1
=右邊.
點評:此題是一個找規(guī)律的題目,主要考查了二次根式的性質(zhì).觀察時,既要注意觀察等式的左右兩邊的聯(lián)系,還要注意右邊必須是一種特殊形式.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列各式及其驗證過程
2
2
3
=
2+
2
3

驗證:2
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
22-1
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3
;
3
3
8
=
3+
3
8

驗證:3
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
32-1
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路,猜想4
4
15
的變形結果并進行驗證.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列各式及其驗證過程:
2+
2
3
=2
2
3
,驗證:
2+
2
3
=
8
3
=
22×2
3
=2
2
3
3+
3
8
=3
3
8
,驗證:
3+
3
8
=
27
8
=
32×3
8
=3
3
8

(1)按照上述兩個等式及其驗證過程,猜想
4+
4
15
的變形結果并進行驗證;
(2)針對上述各式反映的規(guī)律,直接寫出用a(a≥2的整數(shù))表示的等式.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列各式及其驗證過程
①2
2
3
=
2+
2
3
;驗證:2
2
3
=
23
3
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
3

②3
3
8
=
3+
3
8
;驗證:3
3
8
=
33
8
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
8

(1)參照上述等式及其驗證過程的基本思路,猜想:5
5
24
=
 

(2)針對上述各式所反映的一般規(guī)律,請你猜想出用n(n為自然數(shù),且n≥2)表示的等式,并給出驗證.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

觀察下列各式及其驗證過程:2
2
3
=
2+
2
3
;,3
3
8
=
3+
3
8

驗證:2
2
3
=
23
3
=
23-2+2
3
=
2(22-1)+2
3
=
2(22-1)+2
22-1
=
2+
2
22-1
=
2+
2
3
;3
3
8
=
33
8
=
33-3+3
8
=
3(32-1)+3
8
=
3(32-1)+3
32-1
=
3+
3
32-1
=
3+
3
8

(1)按照上面結論猜想4
4
15
的結果,并寫出驗證過程;
(2)根據(jù)對上述各式規(guī)律,寫出用n(n為正整數(shù),且n≥2)表示的等式并給出證明.

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