【題目】已知:點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等,且OB=OC。
(1)如圖①,若點(diǎn)O在BC上,求證:AB=AC;
(2)如圖②,若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,上題的結(jié)論還成立嗎?為什么?
(3)若點(diǎn)O在△ABC的外部,AB=AC成立嗎?請畫圖表示。
【答案】(1)詳見解析;(2)成立,證明詳見解析;(3)不一定成立,圖詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件易證Rt△BOD≌Rt△COE,即可得∠B=∠C,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì),即可證得AB=AC;(2)結(jié)論成立,根據(jù)已知條件易證得Rt△BOD≌Rt△COE,然后又由OB=OC,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì),易證得∠ABC=∠ACB,根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AB=AC;(3)不一定成立,當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí),類比(1)的方法可證AB=AC;當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線不重合時(shí),過點(diǎn)O作OD⊥AB于D,作OE⊥AC的延長線于點(diǎn)E,連接OA,由題意可得OD=OE,根據(jù)角平分線的判定定理可得點(diǎn)O在∠BAC的平分線上,易證△ADO≌△AEO,可得AD=AE,由此可得AB≠AC.
(1)由題意可得,OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°,
在Rt△BOD和Rt△COE中,
∵,
∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
(2)點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,上題的結(jié)論成立,理由如下:
由題意可得,OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°,
在Rt△BOD和Rt△COE中,
∵,
∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL),
∴∠DBO=∠ECO,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(3)不一定成立,當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)AB=AC,否則AB≠AC.
證明:①當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時(shí)(如圖3),過點(diǎn)O作OD⊥AB于D,作OE⊥AC的延長線于點(diǎn)E,
則OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°,
在Rt△BOD和Rt△COE中,
∵,
∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL),
∴∠DBO=∠ECO,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠DBC=∠ECB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
②當(dāng)∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線不重合時(shí)(如圖4),
過點(diǎn)O作OD⊥AB于D,作OE⊥AC的延長線于點(diǎn)E,連接OA,由題意可得OD=OE,根據(jù)角平分線的判定定理可得點(diǎn)O在∠BAC的平分線上,易證△ADO≌△AEO,可得AD=AE,由此可得AB≠AC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+1與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),將線段OA分成n等份,分點(diǎn)分別為P1,P2,P3,…,Pn﹣1,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線分別交直線AB于點(diǎn)T1,T2,T3,…,Tn﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn﹣1分別表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn﹣1Pn﹣2Pn﹣1的面積,則S1+S2+S3+…+Sn﹣1=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是用長度相等的小棒按一定規(guī)律擺成的一組圖案
(1)填寫下表:
圖形序號 | ① | ② | ③ | …… | ⑧ |
每個(gè)圖案中小棒的數(shù)量 | 6 | 11 | …… |
(2)請?zhí)顚懗龅?/span>個(gè)圖案中小棒的數(shù)量(用含的代數(shù)式表示);
(3)第30個(gè)圖案中小棒有多少根?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦,某部門工作人員乘快艇到漢江水域考察水情,以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛.在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上,繼續(xù)行駛40秒到達(dá)B處時(shí),測得建筑物P在北偏西60°方向上,如圖所示,求建筑物P到賽道AB的距離(結(jié)果保留根號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線y1=與直線y2=ax+b交于點(diǎn)A(﹣4,1)和點(diǎn)B(m,﹣4).
(1)求雙曲線和直線的解析式;
(2)直接寫出線段AB的長和y1>y2時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線y=﹣x+3交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,頂點(diǎn)為D的拋物線y=﹣x2+2mx﹣3m經(jīng)過點(diǎn)A,交x軸于另一點(diǎn)C,連接BD,AD,CD,如圖所示.
(1)直接寫出拋物線的解析式和點(diǎn)A,C,D的坐標(biāo);
(2)動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒2個(gè)單位長的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在CA上以每秒3個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.PQ交線段AD于點(diǎn)E.
①當(dāng)∠DPE=∠CAD時(shí),求t的值;
②過點(diǎn)E作EM⊥BD,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)P作PN⊥BD交線段AB或AD于點(diǎn)N,當(dāng)PN=EM時(shí),求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,DE垂直平分AC,垂足為點(diǎn)E,∠BAD=29°,求∠B的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有330臺機(jī)器需要一次性運(yùn)送到某地,計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛來完成此項(xiàng)任務(wù). 已知每輛甲種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器45臺、租車費(fèi)用400元,每輛乙種貨車一次最多運(yùn)送機(jī)器30臺租車費(fèi)用280元. 設(shè)租用甲種貨車輛(為正整數(shù))
(1)請用含的代數(shù)式表示租車費(fèi)用;
(2)存在能完成此項(xiàng)運(yùn)送任務(wù)的最節(jié)省費(fèi)用的租車方案嗎?若存在,請計(jì)算并給出租車方案;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校運(yùn)動(dòng)會(huì)需購買A、B兩種獎(jiǎng)品共100件、B兩種獎(jiǎng)品單價(jià)分別為10元、15元設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m件,購買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用為W元.
寫出元與件之間的函數(shù)關(guān)系式;
若購買兩種獎(jiǎng)品的總費(fèi)用不超過1150元,且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍,求出自變量m的取值范圍,并確定最少費(fèi)用W的值.
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