Question

已知關(guān)于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的兩個實(shí)數(shù)根的積為1，且關(guān)于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正實(shí)根，求n的整數(shù)值．

Answer 1

分析：先根據(jù)關(guān)于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的兩個實(shí)數(shù)根的積為1，得出

1

a2

=1，a=±1，再根據(jù)關(guān)于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x有兩個實(shí)數(shù)根得出12a+9≥0，求出a=1，然后代入關(guān)于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n得出x²+2（1+n）x+（1+2n）=0，求出x₁=-1，x₂=-1-2n，最后根據(jù)關(guān)于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正實(shí)根，得出0＜-1-2n＜2，即可求出n的整數(shù)值．

解答：解：∵關(guān)于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x
∴a²x²+2ax+3x+1=0，
∵關(guān)于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的兩個實(shí)數(shù)根的積為1，
∴

1

a2

=1，
∴a=±1，
∵12a+9≥0，
∴a=1
∴關(guān)于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n可化簡為：
x²+2（1+n）x+（1+2n）=0
∴x₁=-1，x₂=-1-2n，
∵關(guān)于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正實(shí)根，
∴0＜-1-2n＜2，
∴n的整數(shù)值為-1．

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．